Vettori Complessi e Polarizzazione (pdf 221K) - Nettuno

Facoltà di Ingegneria
Corso di laurea in Scienze per l’Ingegneria
Dispense per il corso di Campi Elettromagnetici I
Prof. Fabrizio Frezza
Vettori complessi e polarizzazione
Università “LaSapienza”diRoma
ROMA A.A. 2003-2004

Introduzione 1
Introduzione
L’utilizzo dei vettori complessi in elettromagnetismo è legato allo studio di campi vettoriali che
hanno una dipendenza temporale di tipo armonico. Si consideri un generico campo vettoriale
F(t) che soddisfi l’equazione dei moti armonici:
d 2
dt 2 F(t)+ω2 F(t) =0 (ω 2 > 0) (1)
E’ noto che una soluzione della (1) può essere scritta nella forma:
F(t) =F1 cos ωt + F2 sin ωt (2)
con F1 e F2 vettori reali indipendenti dal tempo. Fissata la pulsazione ω è immediato stabilire
una corrispondenza biunivoca fra le soluzioni della (1) e vettori della forma f = fr +jfj:
F(t) R
−→ f : f = F(0) − j F(π/2ω) (3)
f R−1
−→ F(t) : F(t) = ℜe fe j ωt = fr cos ωt − fj sin ωt (4)
E’ evidente che f ∈ C 3 può essere sempre decomposto nelle sue parti reale e immaginaria fr,fj
∈ R3 echeRe R−1 sono l’una l’inversa dell’altra. Dalle (3) e(4) si deduce facilmente che:
⎧
⎪⎨ fr = F1
⎪⎩ fj = −F2
e
⎧
⎪⎨ F1 = fr
⎪⎩ F2 = −fj
(5)
Es.1 Dato F(t) = 2cosωt ˆx +3cosωt ˆy − 5sinωt ˆz si determini il corrispondente vettore
complesso.
Dopo aver messo in evidenza la dipendenza temporale:
F(t) =(2ˆx +3ˆy)cosωt +(−5 ˆz)sinωt
si deducono F1 = F(0) = (2 ˆx +3ˆy) eF2 = F(π/2ω) =−5 ˆz e utilizzando la (3) si ottiene
immediatamente il vettore complesso cercato:
f = F1 − j F2 =2ˆx +3ˆy +j5ˆz

2
Es.2 Dato F(t) = 2cosωt + π/4 ˆx +3cosωt − π/4 ˆz si determini il corrispondente vettore
complesso. utilizzando la (3) si ottiene immediatamente il vettore complesso cercato:
da cui
F(0) = 2 cos π/4 ˆx +3cos−π/4 ˆz = √ 2 ˆx + 3√
2 ˆz
2
F(π/2ω) =2cosπ/2+π/4 ˆx +3cosπ/2 − π/4 ˆz = − √ 2 ˆx + 3√
2 ˆz
2
f =( √ 2 ˆx + 3√
√ 3√
2 ˆz)+j( 2 ˆx − 2 ˆz)
2
2
E’ bene notare che in elettromagnetismo si considerano anche vettori complessi che non rap-
presentano un vettore variabile sinusoidalmente nel dominio del tempo. Esempi sono il vettore
di propagazione k = β − j α delle onde piane e il vettore di Poynting nel dominio dei fasori
P = 1
2 E × H∗ .
Ellisse di polarizzazione
E’ naturale chiedersi quale sia il luogo geometrico descritto da F(t) pensato come vettore
applicato nell’origine di R 3 .
F(t) è una funzione periodica di periodo T =(2π/ω) di classe C ∞ , dunque il luogo è una
curva regolare e chiusa, inoltre è limitata poiché |F(t)| ≤|F1 cos ωt| + |F2 sin ωt| ≤|F|1 + |F2|.
• Se F1 × F2 = 0, che comprende i casi F1 = 0 e F2 = 0, sihacheF(t) è sempre parallelo
a F1 e/o F2, descrivendo un segmento di semiampiezza |F 2 1 | + |F2 2 |.
• Se F1 × F2 = 0, F(t) è combinazione lineare dei vettori F1, F2 che sono non nulli e
non paralleli, pertanto F(t) giace sempre nel piano formato da F1 e F2 detto piano
di polarizzazione. Stabilendo in questo piano un sistema di riferimento cartesiano e
proiettando F(t) lungo gli assi coordinati si ottiene un sistema di equazioni, che dà luogo,
una volta eliminata la dipendenza dal tempo, ad un’equazione algebrica di secondo grado
nelle componenti Fx e Fy. La conica così ottenuta deve avere punti reali al finito in un
dominio limitato e dunque non può che essere un’ellisse.
• Se |F1| = |F2| e F1 · F2 = 0 l’ellisse è un cerchio e F(t) non dipende dal tempo.
Poiché |F(t)| 2 = |F1| 2 cos 2 ωt+ |F2| 2 sin 2 ωt+2F1 · F2 cos ωt sin ωt è evidente che se sono
verificate le condizioni precedenti risulta |F(t)| 2 = |F1| 2 + |F2| 2 indipendente dal tempo.
Viceversa se |F(t)| non dipende da t, allora |F(0)| 2 = |F1| 2 = |F(π/2ω)| 2 = |F2| 2 .

Ellisse di polarizzazione 3
Dunque |F(t)| 2 = |F1| 2 + F1 · F2 sin 2ωt che può essere indipendente dal tempo solo se
F1 · F2 =0.
Il caso F1 × F2 = 0 è detto di polarizzazione lineare (LP).Ilcaso|F1| = |F2| e F1 · F2 =0è
detto di polarizzazione circolare (CP). Tutti gli altri casi, invece, sono detti di polarizzazione
ellittica (EP). E’ evidente che LP e CP sono casi particolari di polarizzazione ellittica.
Si è visto come tramite la (3) sia possibile associare a F(t) un vettore complesso f = fr +jfj.
E’ possibile caratterizzare la polarizzazione in termini dei componenti fr e fj. Nel caso di
polarizzazione lineare si ha fr × fj = 0 per quanto già visto. Si osservi che se in questo caso si
può scrivere fr = fr û e fj = fj û, con û ∈ R 3 e | û| = 1; dunque f = fr+j fj =(fr+j fj) û = c û
con c ∈ C. Viceversa, se f = c û con c ∈ C e û versore reale, risulta evidentemente fr × fj = 0,
dunque polarizzazione lineare. Allo stesso modo, per quanto già detto, la polarizzazione
circolare si traduce nelle condizioni |fr| = |fj| e fr · fj = 0 che sono equivalenti a f · f =0. In
tutti i casi in cui non sono verificate le condizioni per LP e CP si ha polarizzazione ellittica.
b
y ′
y
(a)
α
a
x ′
x
Figura 1: ellisse di polarizzazione
Per ricavare esplicitamente l’equazione dell’ellisse di polarizzazione si fissa, come si è detto, un
sistema di riferimento cartesiano nel piano di polarizzazione. In questo sistema si potrà scrivere
f = fx ˆx + fy ˆy, confx = ˆ fxe j φx e fy = ˆ fye j φy numeri complessi. Dunque fr = ˆ fx cos φx ˆx +
ˆfy cos φy ˆy e fj = ˆ fx sin φx ˆx + ˆ fy sin φy ˆy, mainvirtù della (4)
b
F(t) =( ˆ fx cos φx ˆx + ˆ fy cos φy ˆy)cosωt − ( ˆ fx sin φx ˆx + ˆ fy sin φy ˆy)sinωt (6)
Proiettando lungo gli assi coordinati si ottiene il sistema:
⎧
⎪⎨ Fx =
⎪⎩
ˆ fx cos φx cos ωt − ˆ fx sin φx sin ωt
Fy = ˆ fy cos φy cos ωt − ˆ fy sin φy sin ωt
y ′
(b)
a
x ′
(7)

4
Per eliminare la dipendenza dal tempo, nella prima delle (7) siponeξ =sinωt. Quadrando è
possibile scrivere un’equazione di secondo grado in ξ:
Fx
ˆfx
2 +sinφxξ =cos 2 φx(1 − ξ 2 ) (8)
ovvero
ξ 2 +2 Fx
Fx
2
ξ + − cos
ˆfx
ˆfx
2 la cui soluzione fornisce:
φx =0 (9)
ξ =sinωt = − Fx
sin φx ±
ˆfx
1
ˆf
ˆfx
2 x − F 2 x cos φx
Per cos ωt si ripete il ragionamento :
(10)
cos ωt = Fx
cos φx ±
ˆfx
1
ˆf
ˆfx
2 x − F 2 x sin φx
(11)
Sotituendo queste due espressioni nella seconda delle (7), quadrando e riordinando i termini
si ha:
ˆf 2 xF 2 y + ˆ f 2 y F 2 x − 2 ˆ fx ˆ fyFxFy cos φ = ˆ f 2 x ˆ f 2 y sin 2 φ, φ = φy − φx (12)
che è l’equazione di un’ellisse con semiassi ruotati di un certo angolo α rispetto agli assi
x e y del sistema di riferimento fissato sul piano di polarizzazione. A volte può risultare
conveniente scrvere l’equazione dell’ellisse in forma canonica; a questo scopo è possibile operare
una rotazione degli assi proprio dell’angolo α:
⎧
⎪⎨ x
⎪⎩
′ = x cos α + y sin α
y ′ = −x sin α + y cos α
Si ottiene così la nuova rappresentazione:
( ˆ f 2 x sin2 α + ˆ f 2 y cos2 α − ˆ fx ˆ fy sin 2α cos φ)F ′2
x +
+( ˆ f 2 x cos2 α + ˆ f 2 y sin2 α + ˆ fx ˆ fy sin 2α cos φ)F ′2
y +
+( ˆ f 2 x sin 2α − ˆ f 2 y sin 2α − 2 ˆ fx ˆ fy cos 2α cos φ)F ′ xF ′ y =
= ˆ f 2 x ˆ f 2 y sin 2 φ
dove F ′ x e F ′ y sono le componenti del campo vettoriale considerato riferite al nuovo sistema di
assi. Se
tan 2α = 2 ˆ fx ˆ fy cos φ
ˆf 2 x − ˆ f 2 (15)
y
allora l’ellisse viene riferita ad un sistema di assi paralleli ai suoi assi principali e con centro
nel centro dell’ellisse. L’angolo di rotazione sarà:
α = 1
2 arctan 2 ˆ fx ˆ fy cos φ
ˆf 2 x − ˆ f 2 y
(13)
(14)
(16)

Caratterizzazione in termini delle componenti cartesiane nel piano di polarizzazione 5
Rispetto al nuovo sistema di riferimento x ′ , y ′ , i semiassi dell’ellisse sono dati da
eliminando α si ottiene
a =
b =
Si definisce l’angolo di eccentricità come
ˆfx ˆ fy| sin φ|
ˆf 2 x sin 2 α + ˆ f 2 y cos 2 α − ˆ fx ˆ fy sin 2α cos φ
ˆfx ˆ fy| sin φ|
ˆf 2 x sin 2 α + ˆ f 2 y cos2 α + ˆ fx ˆ fy sin 2α cos φ
√
2fx ˆ
a =
ˆ fy| sin φ|
( ˆ f 2 x + ˆ f 2
x ) − ( ˆ f 2 x + ˆ f 2 x )2 − 4 ˆ f 2 x ˆ f 2 y sin2 1/2 φ
√
2fx ˆ
b =
ˆ fy| sin φ|
( ˆ f 2 x + ˆ f 2
x)+ ( ˆ f 2 x + ˆ f 2 x) 2 − 4 ˆ f 2 x ˆ f 2 y sin2 1/2 φ
tan γ = ± b
a
il segno positivo si ha per φ>0, e cioè φy >φx se ˆ fx e ˆ fy sono positivi. Al tempo t =0si
ha Fx(0) = ˆ fx cos φx e Fy(0) = ˆ fy cos φy. Questi valori sono supposti entrambi positivi. Se
φy >φx, Fy(t) cambia segno allorché ωt = π/2 − φy, primacioè dell’istante in cui cambia
segno Fx(t). Pertanto la polarizzazione è destrogira. Solitamente l’angolo di eccentricità si
esprime attraverso
sin 2γ = 2tanγ
1+tan 2 γ = 2 ˆ fx ˆ fy sin φ
ˆf 2 x + ˆ f 2 y
Caratterizzazione in termini delle componenti cartesiane nel piano di polarizzazione
Si consideri un sistema di riferimento con il piano xy coincidente con il piano di polarizzazione,
cioè il piano individuato dai componenti fr e fj del vettore di polarizzazione f.
LP Nel caso di polarizzazione lineare si èvistochesipuò scrivere f =(fr +jfj) û = c û con c ∈ C,
û ∈ R 3 e | û| = 1. Dunque:
fx =(fr +jfj)ux fy =(fr +jfj)uy = uy
ux
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
fx = rfx con r ∈ R (23)
Si ha allora che fx e fy come numeri complessi sono in fase (arg fx − arg fy = 0), oppure
in opposizione di fase (arg fx − arg fy = 0). Viceversa, se fx e fy sono in fase oppure in

6
opposizione di fase, si può passare dall’uno all’altro moltiplicando per un numero r reale, ciè
fy = rfy. Per cui
f = fx ˆx + rfy ˆy = fx( ˆx + r ˆy) (24)
e quindi f è il prodotto del numero complesso fx per un vettore reale, ossia è polarizzato
linearmente. E’ possibile dire dunque:
f polarizzato linearmente ⇐⇒ fx = rfy con r ∈ R (25)
CP Allo stesso modo si procede per la polarizzazione circolare. In questo caso si èvistochetrai
componenti del vettore di polarizzazione debbono sussistere le seguenti relazioni:
|fr| = |fj| e fr · fj = 0 (26)
Queste possono essere scritte in termini delle componenti rispetto al sistema di riferimento
fissato nel piano di polarizzazione. ⎧⎪⎨
⎪⎩
f 2 rx + f 2 ry = f 2 jx + f 2 jy
frxfjx + fryfjy =0
Dalla seconda si ricava, quadrando, f 2 rx =(f2 ryf 2 jy )/f 2 . Sostituendo nella prima si ottiene:
jx
f 2 ry f 2 jy
f 2 jx
+ f 2 ry = f 2 jx + f 2 jy ⇒ f 2 ry (f 2 jy + f 2 jx )=f 2 rx (f 2 jy + f 2 jx ) ⇒ fry = ±fjx (28)
Dalla seconda fryfjy = −frxfjx, dacuiseguefjy = ∓frx. Ma allora:
fy = fry +jfjy = ±fjx ∓ j frx = ∓j fx
Viceversa se fy = ±j fx segue fry +jfjy = ±j(frx +jfjx) =±frx ∓ fjx. Uguagliando parte
reale e parte immaginaria si ottengono le relazioni fjy = ±frx e fry = ∓fjx. Utilizzando queste
ultime è immediato verificare che fr · fj = frxfjx + fryfjy = ±fjyfjx ∓ fjxfjy =0einoltre
|f 2 r | = f 2 rx + f 2 ry = f 2 jx + f 2 jy = |f 2 j |. Dunque:
f polarizzato circolarmente ⇐⇒ fy = ±j fx
In questo caso fx e fy, come numeri complessi, sono in quadratura (differenza di fase di π/2).
EP Nel caso più generale di polarizzazione ellittica si avrà fy = Me j φ fx, conM,φ ∈ R e M>0.
In particolare se M =1eφ = ±π/2 si ha polarizzazione circolare. Il caso in cui φ = ±π/2,
ma M = 1 corrisponde ad una polarizzazione ellittica in cui gli assi principali dell’ellisse
coincidono con gli assi cartesiani. Se invece φ = ±π/2 (e ovviamente anche φ = 0,π caso di
polarizzazione lineare) si tratta di un’ellisse con gli assi principali ruotati di un certo angolo
rispetto agli assi cartesiani.
(27)
(29)
(30)

Verso di percorrenza dell’ellisse 7
Verso di percorrenza dell’ellisse
L’ellisse di polarizzazione viene percorsa nel verso secondo cui il vettore fj ruotando si so-
vrappone al vettore fr percorrendo l’angolo minore (vedi Fig. 2(a)). In base a quanto detto
è possibile classificare le onde piane in base al senso di rotazione dei campi elettromagnetici:
un’onda piana si dice polarizzata (CP o EP) destra se il vettore campo elettrico (campo ma-
gnetico) ruota in verso orario guardando nella direzione di propagazione; viceversa l’onda è
detta polarizzata sinistra.
fj
(a)
−fj
fr
Figura 2: (a) determinazione del verso di percorrenza dell’ellisse; (b) onda piana polarizzata
CP o EP destra
Parametri di Stokes
Si considerino due campi elettrici sinusoidali, i cui fasori siano dati da
⎧
⎪⎨ ex = axe
⎪⎩
j φx ˆx
ey = aye j φy ˆy.
Nel dominio del tempo, a questi fasori corrispondono i campi
⎧
⎪⎨ Ex = ax cos (ωt + φx) ˆx
⎪⎩ Ey = ay cos (ωt + φy) ˆy
Si può eliminare il parametro temporale, come si è visto in precedenza, ottenendo
2 Ex
ax
+
2 Ey
ay
(b)
k
(31)
(32)
− 2 Ex Ey
cos φ =sin
ax ay
2 φ (33)
dove φ = φy − φx. Presi Ex e Ey come assi coordinati, è evidente che l’estremo del vet-
tore risultante descrive un’ellisse centrata in Ex = Ey = 0. Per individuare l’ellisse, cioè
la polarizzazione dell’onda, è necessario fornire tre parametri, ad esempio le grandezze ax,

8
ay e φ. Ovviamente, è anche possibile individuare la polarizzazione mediante un’opportuna
combinazione dei precedenti parametri. Stokes suggerì di utilizzare i parametri così definiti:
⎧
Quadrando e sommando si ha
s0 =a 2 x + a2 y = ExE ∗ x + EyE ∗ y
⎪⎨ s1 =a 2 x − a 2 y = ExE ∗ x − EyE ∗ y
s2 =2axay cos φ = ExE ∗ y + E ∗ xEy
⎪⎩ s3 =2axay sin φ =j(ExE ∗ y − E∗ xEy). s 2 0 = s 2 1 + s 2 2 + s 2 3
il che dimostra che solo tre dei parametri di Stokes sono tra loro indipendenti. Noti questi
s1
s3
2α
s0
2γ
Figura 3: sfera di Poincaré
P (s1,s2,s3)
parametri l’ellisse di polarizzazione è immediatamente individuata, essendo
Dalle (15), (21) e(22) siha
a 2 x = s0 + s1
2
,a 2 y = s0 − s1
2
tan 2α = s2
, sin 2γ = s3
s2
(34)
(35)
, tan φ = s3
. (36)
s1
,s0 = a
s0
2 + b 2
(37)
E’ evidente che s3 = s0 sin 2γ eches2 =tan2φ. Sostituendo queste relazioni nella (35) siha
anche s1 = s0 cos 2γ cos 2α. I parametri di Stokes possono essere espressi, dunque, in termini
degli angoli α e γ: ⎧⎪ ⎨
⎪⎩
s1 = s0 cos 2γ cos 2α
s2 = s0 cos 2γ sin 2α
s3 = s0 sin 2γ
Poiché la polarizzazione lineare corrisponde a γ =0(b = 0), essa è caratterizzata da s3 =0.
La polarizzazione circolare corrisponde invece a γ = ±π/4, per essa si ha s1 =s2 =0. In
s2
(38)

Parallelismo e perpendicolarità tra vettori complessi 9
virtù della (35), al variare della polarizzazione dell’onda, cioè degli angoli γ e α, il punto di
coordinare (s1,s2,s3) descrive una superficie sferica di raggio s0. La latitudine del punto è
pari a 2γ elalongitudine a2α. Questasferaè detta sfera di Poincaré; ciascuno dei suoi punti
corrisponde a uno stato di polarizzazione. In particolare, la polarizzazione lineare (s3 =0)è
rappresentata dai punti all’equatore; la polarizzazione circolare (s1 = s2 = 0) dai due poli. La
semisfera superiore corrisponde alle polarizzazioni destre, quella inferiore alle polarizzazioni
sinistre.
Parallelismo e perpendicolarità tra vettori complessi
E’ importante ricordare che un vettore complesso non può essere disegnato in R 3 ; esso in-
fatti rappresenta, in generale, un vettore polarizzato ellitticamente nel dominio del tempo.
Tuttavia, è possibile parlare di parallelismo e perpendicolarità in senso algebrico, secondo cui
g = αf ,α∈ C parallelismo tra f e g
g · f = 0 perpendicolarità traf e g
Queste definizioni possono essere interpretate dal punto di vista geometrico.
Sia g = αf, α = λej θ . Allora se f R−1
−→ F(t) siha
αf R−1
−→ ℜe αf e j ωt
= ℜe λf e j(ωt+θ)
j
= λ ℜe f e
ω(t+θ/ω)
= λF(t + θ/ω) (40)
Dunque G(t) =λF(t + θ/ω); se F(t) è polarizzato secondo una certa ellisse (eventualmente
una circonferenza o nel caso limite un segmento) G(t) sarà polarizzato secondo un’ellisse
omotetica con rapporto di omotetia λ, percorsa con anticipo di θ/ω. La forma dell’ellisse
(rapporto tra i semiassi), le direzioni degli assi principali e il verso di percorrenza rimangono
invariati. Si giunge alla conclusione che la moltiplicazione di un vettore complesso per uno
scalare complesso non cambia il tipo di polarizzazione.
g f
G(t)
Figura 4: interpretazione geometrica del parallelismo tra vettori complessi
Il contenuto geometrico della perpendicolarità è meno immediato. Dato un vettore complesso
f = 0 sicerchiilpiù generale vettore g che sia ad esso perpendicolare. Se f èLP,g può
F(t)
(39)

10
essere un vettore arbitrario del piano perpendicolare alla direzione di polarizzazione di f; cioè
se f = α û, con û ∈ R 3 , allora g = û × h, conh arbitrario. Se f non èLP,esisteràunversore
n ortogonale al piano di polarizzazione di f. Posto g = βn + gf con gf nel piano di f, si
ha (βn · f) = 0 per ogni β. Resta da determinare gf in modo che risulti anche gf · f =0.
Dall’identità
gf × (n × f) =n(gf · f) − f(gf · n) (41)
si ha, poiché gf ·f =0en·gf =0,chegf ×(n×f) =0. Dunque il più generale g perpendicolare
a f ha la forma g = βn+αn×f, conα costante arbistraria. Il corrispondente G(t)è la somma
di un vettore LP nella direzione di n ediunvettorenonLPnelpianodif, che ha ellisse di
polarizzazione ortogonale a quella di f. Il più generale G(t) giace su un cilindro ellittico che
ha sezione retta data da Gf (t) e generatrici parallele a n. Tagliando questo cilindro con piani
arbitrari si ottengono tutte le possibili ellissi di polarizzazione dei vettori g perpendicolari a
f. In particolare, esistono due vettori CP perpendicolari a f, che si determinano imponendo
che g · g = 0. In questo modo si ottiene g = α(n × f ± j √ f · fn).
g
Figura 5: interpretazione geometrica del parallelismo tra vettori complessi
n
gf
Rappresentazione assiale
Per determinare rapidamente le dimensioni e le lunghezze degli assi principali dell’ellisse di
polarizzazione associata ad un dato vettore complesso f, si considerino le seguenti proprietà
dimostrate in precedenza:
• g =e j θ f ha la stessa ellisse di f se θ ∈ R
• ∃θ t.c. gr · gj =0
• se gr · gj = 0, allora gr e gj giacciono sugli assi principali dell’ellisse.

Scomposizione di una generica polarizzazione 11
se f èEPe √ f · f = 0 (per cui sicuramente f non è CP), si può scrivere
fj
gr
(a)
fr
g = |√ f · f|
√ f · f f (42)
gj
gr
(b)
Figura 6: costruzione della rappresentazione assiale
Il vettore così ottenuto èdeltipog =e j θ f; essendo, inoltre, g · g ∈ R, sihagr · gj = 0, dunque
gr e gj sono gli assi principali. Poiché g · g = |gr| 2 −|gj| 2 > 0, l’asse maggiore è gr, mentre
l’asse minore è gj. Dalla g · g ∗ = f · f ∗ = |gr| 2 + |gj| 2 si trae un’interpretazione geometrica
per |f| = |f · f ∗ |: essa è la lunghezza dell’ipotenusa del triangolo rettangolo che ha come cateti
i semiassi dell’ellisse.
Scomposizione di una generica polarizzazione
Si è visto come sia possibile rappresentare un generico stato di polarizzazione come combina-
zione di due polarizzazioni lineari; fissato un sistema di riferimento cartesiano xy sul piano di
polarizzazione si può scrivere il vettore complesso f come somma dei due componenti fx ˆx e
fy ˆy rispetto agli assi coordinati. Si ècioè utilizzata la base costituita dai vettori reali ˆx e
ˆy per rappresentare il vettore complesso f. In molti casi pratici risulta, tuttavia, necessario
espandere un dato vettore, reale o complesso, rispetto ad una base di vettori complessi. Un
esempio è costituito dalla base ortonormale formata dalle due polarizzazioni circolari:
c1 =
ˆx − j ˆy
√ 2
, c2 =
ˆx +j ˆy
√ 2
E’ facile verificare che c1 · c ∗ 2 = c2 · c ∗ 1 =0eche|c1| = |c2| = 1. Fissata questa base il vettore
f = fx ˆx + fy ˆy si potrà scrivere f = f1c1 + f2c2, con
f1 =(f · c ∗ 1)= fx +jfy
√ 2
|f|
gj
(43)
e f2 =(f · c ∗ 2)= fx − j fy
√ . (44)
2
Scomponendo una generica polarizzazione ellittica in due polarizzazioni circolari è semplice
dedurre informazioni sull’ellisse di polarizzazione. Considerando, infatti, il rapporto tra le

12
componenti rispetto a questa base
f2
f1
= Me −j2α
si può dimostrare che l’angolo α è l’angolo che gli assi principali dell’ellisse formano con gli
assi cartesiani e che il rapporto tra il semiasse maggiore e quello minore èdatoda
Si calcoli dunque il rapporto tra le componenti
f2
f1
= (fx − j fy) 1
√ 2
fx +jfy) 1 √ 2
b
a
= (fx − j fy)(f ∗ x − j f ∗ y )
|fx +jfy| 2
(45)
|1+M|
= . (46)
|1 − M|
= |fx| 2 −|fy| 2 − j2ℜe fxf ∗
y
|fx +jfy| 2 . (47)
In generale fx = ˆ fxe j φx e fy = ˆ fye j φy saranno complessi. Sostituendo nella precedente si
ottiene
Si avrà dunque
f2
f1
= |fx| 2 −|fy| 2 − j2 ˆ fx ˆ fx cos φ
|fx +jfy| 2 con φ = φy − φx. (48)
α = − 1 f2
arctan
2 f1
= 1
2 arctan 2 ˆ fx ˆ fx cos φ
|fx| 2 −|fy| 2
analoga all’espressione determinata in precedenza per lo stesso angolo. In modo analogo si
può dimostrare la validità dell’espressione per il rapporto tra i semiassi dell’ellisse.
Identità di Gibbs
Dato un vettore d ∈ C 3 può essere utile darne una rappresentazione in termini di altri tre
vettori complessi a, b e c tali che a · b × c = 0 (condizione di indipendenza lineare). A questo
scopo si consideri (a × b) × (c × d) =−(c × d) × (a × b) e si sviluppi il prodotto vettoriale:
che può essere scritto anche come:
(49)
(a × b) × (c × d) =c[(a × b) · d] − d[(a × b) · c] (50)
−(c × d) × (a × b) =−a[(c × d) · b]+b[(c × d) · a] (51)
Uguagliando i secondi membri delle (50) e(51) si ottiene:
d[(a × b) · c] =a[(c × d) · b] − b[(c × d) · a]+c[(a × b) · d] (52)
Avendo supposto che i vettori a, b e c fossero linearmente indipendenti, è possibile dividere
la (52) per(a × b) · c = 0 ottenendo un’espressione del vettore d in termini degli altri tre,
detta identità di Gibbs:
[(c × d) · b] × d) · a] × b) · d]
d = a − b[(c + c[(a
[(a × b) · c] [(a × b) · c] [(a × b) · c]
(53)

Applicazione al caso della ionosfera 13
aj
90 ◦
k
ar
A(t)
Figura 7: k × a = k × (ar +jak) =ja
Applicazione al caso della ionosfera
Un caso interessante in cui la (53) può trovare applicazione è quello di un’onda piana uniforme
che si propaga nella ionosfera dando luogo a due onde polarizzate circolarmente. E’ conveniente
allora esprimere una generica onda in termini di queste due polarizzazioni. Indicando con a
e a ∗ le due polarizzazioni circolari destra e sinistra entrambe perpendicolari al vettore di
propagazione k dell’onda piana uniforme è possibile esprimere il vettore di polarizzazione del
campo elettrico E in termini della terna a, a ∗ e k. Tenendo conto del fatto che k × a =ja e
k × a ∗ = −j a ∗ ,èevidentecherisultak · a × a ∗ =ja · a ∗ = 0. Dunque sarà:
ma
E = a [(k × E) · a∗ ]
[(a × a ∗ ) · k]
[(k × E) · a]
− a∗
[(a × a∗ ) · k] + k[(a × a∗ ) · E]
[(a × a∗ ) · k]
[(k × E) · a ∗ ]=−E · k × a ∗ =jE · a ∗
(54)
(55)
[(k × E) · a] =−E · k × a = −j E · a (56)
[(a × a ∗ ) · k] =k × a · a ∗ =ja · a ∗
(57)
a × a ∗ =ja ∗ × (k × a) =j[k(a · a ∗ ) − a(k · a ∗ )] = j k(a · a ∗ ) (58)
pertanto risulta
E · a∗ E · a
E = a + a∗ + k(E · k) (59)
a · a∗ a · a∗ In particolare, per un’onda piana uniforme, risulta E·k = 0 e quindi la generica polarizzazione
E viene scritta come somma di due polarizzazioni circolari. La ionosfera si comporta come un
materiale isotropo che sotto l’azione di un campo magnetostatico di induzione B0 (in questo

14
caso quello terrestre) diviene giroelettrico, ovvero anisotropo con costante dielettrica di tipo
tensoriale (diadico). La direzione lungo cui agisce B0 costituisce un asse principale del tensore
mentre gli altri due assi possono essere scelti ad arbitrio. Supponendo di aver fissato un sistema
di riferimento cartesiano e scegliendo l’asse z nella direzione di B0 si ha:
ovvero:
⎛ ⎞ ⎛
ɛ⊥
⎜
ɛ · E = ɛ0 ⎜ 0
⎝
0
ɛ⊥
0
⎟ ⎜
⎟ ⎜
0 ⎟ ⎜
⎠ ⎝
0 0 ɛ Ex
Ey
Ez
⎞
⎟
⎠ +jɛ0g ˆz × E (60)
ɛ · E = ɛ0(ɛ⊥E⊥ +jg ˆz × E⊥)+ɛ0ɛ Ez ˆz (61)
Si consideri un’onda piana uniforme che si propaga nella direzione e nel verso individuati
dall’asse z con costante di propagazione β. Dalla prima equazione di Maxwell si avrà:
e sostituendo nella seconda:
H = β
uz × E (62)
ωµ0
−β 2 ˆz × ( ˆz × E) =β 2 E⊥ = k 2 0 (ɛ⊥E⊥ + ɛ Ez ˆz +jguz × E⊥) (63)
uguagliando le componenti omonime si ottiene Ez =0e:
⎧
⎪⎨ (k
⎪⎩
2 0ɛ⊥ − β 2 )Ex − j gk 2 0Ey =0
j gk 2 0Ex +(k 2 0ɛ⊥ − β 2 )Ey =0
Il sistema omogeneo (64) ammette soluzione diversa da quella banale solo se ha determinante
nullo. Annullando il determinante si ha:
da cui:
Si ottengono i due seguenti valori di β:
(k 2 0ɛ⊥ − β 2 ) 2 = g 2 k 4 0
±gk 2 0 = k 2 0ɛ⊥ − β 2
(64)
(65)
(66)
√
β1,2 = k0 ɛ⊥ ∓ g (67)
che sostituiti in (64) permettono di ricavare il legame tra le componenti del vettore E. Nel
caso β1
√
= k0 ɛ⊥ − g si ottiene Ey = −j Ex, mentre nel caso β2
√
= k0 ɛ⊥ + g il legame
tra le componenti cartesiane del vettore campo elettrico sarà Ey =jEx. Si tratta di due
polarizzazioni circolari sinistra e destra rispettivamente, poiché siè supposto che il verso di

Decomposizione di un vettore rispetto ad un’altro 15
propagazione dell’onda fosse quello delle z positive. In definitiva si ottengono le due seguenti
possibili forme del campo elettrico:
−j βz
E1 = A( ˆx − j ˆy)e
−j βz
E2 = A( ˆx +j ˆy)e
(detta onda ciclotronica) (68a)
(detta onda anticiclotronica) (68b)
dove A e B sono due costanti arbitrarie. Se β1 e β2 sono reali le onde si propagano. Si può
procedere in modo analogo per onde che si propagano nel verso delle z negative: in questo
polarizzazioni levogire diventeranno destrogire e viceversa quelle destrogire diventeranno levo-
gire. Le onde ciclotroniche (anticiclotroniche) prendono questo nome per il fatto che il verso
di rotazione è coincidente (opposto) a quello di un elettrone che compie il moto ciclotronico
intorno al campo magnetostatico.
Decomposizione di un vettore rispetto ad un’altro
A volte risulta utile poter scrivere un vettore complesso f come somma di due vettori, uno
parallelo ad un vettore noto g = 0 e l’altro perpendicolare a g ∗ . A questo scopo basta
sviluppare il prodotto
g × (f × g ∗ )=f(g · g ∗ ) − g ∗ (g · f). (69)
Dividendo ambo i membri per g · g ∗ è possibile esprimere f in funzione di g:
∗ g · f
f = g
g · g∗ + g × (f × g∗ )
g · g∗ Si noti che il primo addendo del secondo membro è parallelo a g ∗ , mentre il secondo addendo
è perpendicolare a g. Questa decomposizione trova applicazione nella teoria delle antenne: se
un’antenna riceve un campo elettrico E, il segnale ricevuto risulta essere proporzionale alla
quantità:
|h · E|2
p(h, E) =
|h| 2 |h × E|
=1−
|E| 2 |h| 2 |E| 2
(71)
essendo h un parametro caratteristico dell’antenna (vettore altezza efficace). Dunque un’an-
tenna riceve solo la parte parallela alla propria altezza efficace.
(70)