Note del corso di Fisica Matematica A

4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale 93
Poiché il vettore infinitesimo ω ′ è completamente arbitrario e poiché i vincoli di rigidità non consentono
spostamenti virtuali irreversibili, segue che l’annullamento di questo δL equivale appunto
alla condizione Ωe(O) = 0, già riconosciuta necessaria e sufficiente per l’equilibrio.
Non sarà inutile fare notare che, mentre le forze cui si riferisce il lavoro virtuale δL nella condizione
simbolica della Statica sono tutte e sole le forze attive, nelle equazioni cardinali della Statica si
applicano prima le equazioni cardinali alle forze esterne e poi si cerca di eliminare tutto ciò che
proviene dalle reazioni vincolari, in modo che le condizioni finali si riferiscano solo a forze, che
sono ad un tempo attive (cioé non prevenienti da legami) e di origini esterna.
Esempio: statica dei sistemi pesanti. Teorema di Torricelli.
Consideriamo un sistema materiale S, comunque costituito, in cui le forze attive si riducano ai pesi
dei singoli elementi. Sia l’asse z verticale e diretto verso l’alto e sia ms la massa di un generico
elemento Ps, la forza di vettore Fs applicata in Ps avrà per componenti (0,0,−msg). In un generico
spostamento virtuale del sistema siano δxs,δys,δzs le componenti dello spostamento δPs subito da
Ps. Il lavoro virtuale delle forze attive si riduce a
dove
N N
δL = Fs ·δPs = −g msδzs = −mgδzG
s=1 s=1
zG =
Ns=1mszs
è la quota del baricentro e m la massa totale del sistema. La condizione di equilibrio δL ≤ 0
assume di conseguenza l’aspetto δzG ≥ 0, valendo l’uguaglianza per gli spostamenti reversibili. Da
quanto sopra detto: condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un sistema pesante è
che il suo baricentro non sia suscettibile di innalzamento per effetto di alcun spostamento virtuale
infinitesimo del sistema. Ad esempio, nel caso di legami tutti reversibili, la condizione diventa
δzG = 0, cioé l’equilibrio può sussistere senza che l’altezza del baricentro sia minima, in particolare
quando essa è massima.
4.3.3 Statica dei sistemi olonomi: condizioni di equilibrio in coordinate lagrangiane
Si consideri un sistema a n gradi di libertà olonomo a vincoli lisci e bilaterali costituito da N
punti Ps, s = 1,...,N. Riferendolo ad un generico sistema di coordinate lagrangiane (indipendenti)
qh, h = 1,...,n, segue che:
e ogni spostamento virtuale assume la forma
m
Ps = Ps(q1,q2,...,qn;t), s = 1,...,N, (4.18)
n ∂Ps
δPs = δqh
h=1 ∂qh
(4.19)
(dove le δqh sono arbitrarie e indipendenti) e risulta reversibile. Allora le condizioni necessarie e
sufficienti perché il sistema, sotto una data sollecitazione (Ps,Fs), s = 1,2,...,N, sia in equilibrio
saranno fornite dall’equazione simbolica della Statica