Note del corso di Fisica Matematica A
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4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale 93<br />
Poiché il vettore infinitesimo ω ′ è completamente arbitrario e poiché i vincoli <strong>di</strong> rigi<strong>di</strong>tà non consentono<br />
spostamenti virtuali irreversibili, segue che l’annullamento <strong>di</strong> questo δL equivale appunto<br />
alla con<strong>di</strong>zione Ωe(O) = 0, già riconosciuta necessaria e sufficiente per l’equilibrio.<br />
Non sarà inutile fare notare che, mentre le forze cui si riferisce il lavoro virtuale δL nella con<strong>di</strong>zione<br />
simbolica <strong>del</strong>la Statica sono tutte e sole le forze attive, nelle equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la Statica si<br />
applicano prima le equazioni car<strong>di</strong>nali alle forze esterne e poi si cerca <strong>di</strong> eliminare tutto ciò che<br />
proviene dalle reazioni vincolari, in modo che le con<strong>di</strong>zioni finali si riferiscano solo a forze, che<br />
sono ad un tempo attive (cioé non prevenienti da legami) e <strong>di</strong> origini esterna.<br />
Esempio: statica dei sistemi pesanti. Teorema <strong>di</strong> Torricelli.<br />
Consideriamo un sistema materiale S, comunque costituito, in cui le forze attive si riducano ai pesi<br />
dei singoli elementi. Sia l’asse z verticale e <strong>di</strong>retto verso l’alto e sia ms la massa <strong>di</strong> un generico<br />
elemento Ps, la forza <strong>di</strong> vettore Fs applicata in Ps avrà per componenti (0,0,−msg). In un generico<br />
spostamento virtuale <strong>del</strong> sistema siano δxs,δys,δzs le componenti <strong>del</strong>lo spostamento δPs subito da<br />
Ps. Il lavoro virtuale <strong>del</strong>le forze attive si riduce a<br />
dove<br />
N N<br />
δL = Fs ·δPs = −g msδzs = −mgδzG<br />
s=1 s=1<br />
zG =<br />
Ns=1mszs<br />
è la quota <strong>del</strong> baricentro e m la massa totale <strong>del</strong> sistema. La con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> equilibrio δL ≤ 0<br />
assume <strong>di</strong> conseguenza l’aspetto δzG ≥ 0, valendo l’uguaglianza per gli spostamenti reversibili. Da<br />
quanto sopra detto: con<strong>di</strong>zione necessaria e sufficiente per l’equilibrio <strong>di</strong> un sistema pesante è<br />
che il suo baricentro non sia suscettibile <strong>di</strong> innalzamento per effetto <strong>di</strong> alcun spostamento virtuale<br />
infinitesimo <strong>del</strong> sistema. Ad esempio, nel caso <strong>di</strong> legami tutti reversibili, la con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong>venta<br />
δzG = 0, cioé l’equilibrio può sussistere senza che l’altezza <strong>del</strong> baricentro sia minima, in particolare<br />
quando essa è massima.<br />
4.3.3 Statica dei sistemi olonomi: con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> equilibrio in coor<strong>di</strong>nate lagrangiane<br />
Si consideri un sistema a n gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà olonomo a vincoli lisci e bilaterali costituito da N<br />
punti Ps, s = 1,...,N. Riferendolo ad un generico sistema <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate lagrangiane (in<strong>di</strong>pendenti)<br />
qh, h = 1,...,n, segue che:<br />
e ogni spostamento virtuale assume la forma<br />
m<br />
Ps = Ps(q1,q2,...,qn;t), s = 1,...,N, (4.18)<br />
n ∂Ps<br />
δPs = δqh<br />
h=1 ∂qh<br />
(4.19)<br />
(dove le δqh sono arbitrarie e in<strong>di</strong>pendenti) e risulta reversibile. Allora le con<strong>di</strong>zioni necessarie e<br />
sufficienti perché il sistema, sotto una data sollecitazione (Ps,Fs), s = 1,2,...,N, sia in equilibrio<br />
saranno fornite dall’equazione simbolica <strong>del</strong>la Statica