Note del corso di Fisica Matematica A

92 4 Statica
Più precisamente:
δL =
N
Fs ·δPs = −δρ ≤ 0, essendo δρ ≥ 0. (4.16)
s=1
Teorema 4.19 (Teorema dei lavori virtuali). Condizionenecessariaesufficiente per l’equilibrio
di un sistema materiale a vincoli privi di attrito (e indipendenti dal tempo) è che le forze
attive compiano un lavoro virtuale totale negativo o nullo per ogni spostamento virtuale a partire
dalla configurazione di equilibrio.
Dimostrazione. Per dimostrare la parte necessaria supponiamo il sistema in equilibrio; quindi ogni
punto è in equilibrio e pertanto deve essere
Fs +φs = 0, s = 1,2,...,N.
Moltiplicando scalarmente ambo i membri per δPs, sommando rispetto a s e facendo uso del principio
dei lavori virtuali segue δL ≤ 0. La dimostrazione della parte sufficiente viene data in seguito
attraverso le equazioni di Lagrange.
Come si vede, una tale conclusione è indipendente dalle modalità di realizzazione dei vincoli, in
quantolacondizioneinessaenunciatafaintervenireglispostamentivirtuali,cherispecchianol’effetto
geometrico e cinematico dei vincoli, ma non i particolari dispositivi che li attuano.
La (4.16) prende il nome di relazione simbolica della Statica. Se il sistema non ammette
spostamenti virtuali irreversibili, il che accade se non vi sono vincoli unilaterali, essa si riduce alla
e si chiama equazione simbolica della statica.
Dalla (4.16) possiamo dedurre due corollari:
δL = 0 (4.17)
i. Se ad un sistema Σ di forze attive, atte a mantenere in equilibrio un dato punto materiale S, si
aggiunge una seconda sollecitazione Σ ′ , pure atta a mantenere S in equilibrio, la sollecitazione
risultante Σ +Σ ′ verifica anch’essa la condizione di equilibrio.
ii. Se un sistema materiale S ′ differisce da un sistema S per l’aggiunta di alcuni legami, e se una
certa sollecitazione Σ mantiene S in equilibrio, a maggior ragione manterrà in equilibrio S ′ .
Quando poi tutti i vincoli sono bilaterali (o più generalmente, quando non si tratta di una configurazione
di confine) si rileva dalla (4.17): se un sistema di forze attive applicate ad un sistema
materiale è in equilibrio, lo è pure il sistema costituito dalle stesse forze prese in verso opposto.
Esempio: solido fissato in un suo punto
SeO èilpuntofissatoallorabastascegliereinquestopuntoilpolo,perchéilpiùgeneralespostamento
virtuale del punto Ps sia dato da
e conseguentemente si abbia
δPs = ω ′ ×(Ps −O), s = 1,2,...N,
δL = ω ′ ·Ωe(O).