Note del corso di Fisica Matematica A

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90 4 Statica Principio dei lavori virtuali. Le reazioni (Ps,φs), s = 1,...,N, provenienti da legami privi di attrito sono tali che il lavoro virtuale complessivo δρ = N s=1φs ·δPs da esse effettuato è nullo per ogni spostamento virtuale reversibile, positivo o nullo per ogni spostamento virtuale irreversibile. Trascurando i sistemi a legami unilaterali il principio dei lavori virtuali richiede che si annulli il lavoro virtuale delle reazioni per ogni spostamento virtuale conciliabile con i legami. Il principio dei lavori virtuali si legittima per induzione facendo vedere che esso risulta verificato in tanti casi particolari: Φ . δ σ π Fig. 4.5. Caso di un punto vincolato a scorrere (a sinistra) e vincolato a stare appoggiato (a destra) su una superficie priva di attrito. i. Nel caso di un punto costretto a restare sopra una superficie o sopra una curva (priva d’attrito). Consideriamo, adesempio,ilcasodiunapuntoP vincolato a muoversi su una superficie liscia e fissata; in questo caso ogni spostamento virtuale δP sarà tangentealla superficie in P, d’altra parte la reazione vincolare, essendo la superficie liscia, ha direzione necessariamente normale alla superficie stessa e quindi Φ . δ δρ = φ·δP = 0. (4.15) ii. Nel caso di un vincolo unilaterale, ad es. un punto che può oltrepassare una certa superficie, pur non essendo impedito di staccarsene dalla banda opposta. In questo caso la (4.15) prende la forma δρ = φ·δP = 0 per spostamenti invertibili del punto e δρ ≥ 0 per spostamenti virtuali di distacco. iii.Nel caso dei sistemi rigidi basta osservare che le reazioni vincolari (quelle di rigidità) sono forze interne e quindi a due a due uguali e direttamente opposte. Il lavoro complessivo si può perciò considerare come somma dei lavori effettuati da ciascuna di queste coppie, e risulterà dimostrato l’asserto se si proverà nullo il lavoro corrispondente ad una coppia generica. Più in dettaglio consideriamo un sistema meccanico costituito da due corpi puntiformi collegati da una asta di lunghezza fissa ℓ e massa trascurabile. Le reazioni vincolari applicate nei due punti saranno rappresentate da due vettori φ1 e φ2 uguali (di intensità) e opposti e diretti lungo la congiungente (in virtù della terza legge di Newton) per cui possiamo scrivere σ π
δρ = φ1 ·δP1 +φ2 ·δP2 = φ1 ·δ(P1 −P2). Ponendo P2 −P1 = ℓˆr, φ1 = φ1ˆr e ricordando che ˆr ⊥ δˆr segue infine che δρ = φ1ℓˆr·δˆr = 0. 4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale 91 iv.Seunsolidoèulteriormentevincolato,presentandounpuntofisso,ounarettafissaoappoggi(privi diattrito)sualtricorpi,siriconoscesubitocheillavorovirtualedellereazioniprovenientidaquesti vincoliènulloneiprimiduecasi,positivoonullonelterzo. Adesempio,se due corpi rigidi sono connessi da una cerniera in un punto A allora, trascurando la massa e le dimensioni della cerniera, si può asserire che le reazioni che un corpo esercita sull’altro sono entrambe applicate in A e sono uguali ed opposte e quindi il lavoro complessivo sarà nullo. Consideriamo ora il caso se due corpi rigidi hanno le loro superfici in contatto idealmente lisce, anche in questo caso le due reazioni sono uguali ed opposte e dirette normalmente al piano tangente comune alle due superfici nel punto di contatto. I possibili spostamenti virtuali (che lasciano le superfici ancora in contatto) sono tali per cui lo spostamento virtuale relativo del punto di contatto deve avvenire sul piano tangente e quindi avremo ancora δρ = 0. Nel caso poi di appoggio allora le reazioni vincolari sono dirette da un corpo verso l’altro (oltre che normali al comune piano tangente) e quindi avremo δρ ≥ 0 per spostamenti virtuali di distacco e δρ = 0 per gli altri. Α −Φ Α Fig. 4.6. Caso di due aste incernierate agli estremi: sulle due aste separatamente sono applicate due reazioni uguali e opposte nel punto A corrispondente alla cerniera. 4.3.2 Condizione generale d’equilibrio. Relazione simbolica della Statica Nel seguito faremo l’ipotesi di vincoli privi di attrito. Ciò premesso, consideriamo un generico sistema di punti materiali Ps, s = 1,...,N, soggetti a vincoli privi di attrito, e cerchiamone le condizioni di equilibrio, vale a dire le condizioni necessarie e sufficienti, affinché le forze Fs, direttamente applicate ai singoli punti Ps, siano atte a mantenerli in quiete. In base al principio dei lavori virtuali, nella sua accezione più generale, si conclude che per l’equilibrio del sistema è necessario e sufficiente che le forze attive rendano soddisfatta, per tutti gli spostamenti virtuali, la relazione Φ
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