Note del corso di Fisica Matematica A

90 4 Statica
Principio dei lavori virtuali. Le reazioni (Ps,φs), s = 1,...,N, provenienti da legami privi
di attrito sono tali che il lavoro virtuale complessivo δρ = N s=1φs ·δPs da esse effettuato è nullo
per ogni spostamento virtuale reversibile, positivo o nullo per ogni spostamento virtuale
irreversibile.
Trascurando i sistemi a legami unilaterali il principio dei lavori virtuali richiede che si annulli il
lavoro virtuale delle reazioni per ogni spostamento virtuale conciliabile con i legami. Il principio
dei lavori virtuali si legittima per induzione facendo vedere che esso risulta verificato in tanti casi
particolari:
Φ
.
δ
σ
π
Fig. 4.5. Caso di un punto vincolato a scorrere (a sinistra) e vincolato a stare appoggiato (a destra) su una superficie
priva di attrito.
i. Nel caso di un punto costretto a restare sopra una superficie o sopra una curva (priva
d’attrito). Consideriamo, adesempio,ilcasodiunapuntoP vincolato a muoversi su una superficie
liscia e fissata; in questo caso ogni spostamento virtuale δP sarà tangentealla superficie
in P, d’altra parte la reazione vincolare, essendo la superficie liscia, ha direzione necessariamente
normale alla superficie stessa e quindi
Φ
.
δ
δρ = φ·δP = 0. (4.15)
ii. Nel caso di un vincolo unilaterale, ad es. un punto che può oltrepassare una certa superficie,
pur non essendo impedito di staccarsene dalla banda opposta. In questo caso la (4.15) prende la
forma δρ = φ·δP = 0 per spostamenti invertibili del punto e δρ ≥ 0 per spostamenti virtuali di
distacco.
iii.Nel caso dei sistemi rigidi basta osservare che le reazioni vincolari (quelle di rigidità) sono forze
interne e quindi a due a due uguali e direttamente opposte. Il lavoro complessivo si può perciò
considerare come somma dei lavori effettuati da ciascuna di queste coppie, e risulterà dimostrato
l’asserto se si proverà nullo il lavoro corrispondente ad una coppia generica. Più in dettaglio
consideriamo un sistema meccanico costituito da due corpi puntiformi collegati da una asta
di lunghezza fissa ℓ e massa trascurabile. Le reazioni vincolari applicate nei due punti
saranno rappresentate da due vettori φ1 e φ2 uguali (di intensità) e opposti e diretti lungo la
congiungente (in virtù della terza legge di Newton) per cui possiamo scrivere
σ
π