Note del corso di Fisica Matematica A

4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale 89
dove ∆ è l’area del triangolo P1P2P3 e ∆s è l’area del triangolo avente per vertice O e appoggi residui
ottenuti eliminando Ps, ad esempio ∆1 è l’area del triangolo di vertici OP2P3. Infatti il sistema
(4.13) ha soluzione
p
1 1
1
1 1
1 1 1
dove
0 x2 x3 0 x2 x3 xG x2 x3
0
y2 y3
0
y2 y3
yG
y2 y3
φ1 =
1 1 1 = p
1 1 1 = p
1 1 1
x1
x2 x3
x1
x2 x3
x1
x2 x3
y1
y2 y3
y1
y2 y3
y1
y2 y3
= p ∆1
∆
1 1 1
1 0 0
0 0 1
x1
x2 x3
= x1
x2 −x1 x3 −x1 = x2
−x1 y2 −y1 0
y1
y2 y3
y1
y2 −y1 y3 −y1 x3
−x1 y3 −y1 0
= ˆ k·[(P2 −P1)×(P3 −P1)] = area (P1P2P3).
Nel caso in cui sia N > 3 è manifesto che il sistema non ammette una unica soluzione e quindi
non siamo in grado di determinare univocamente la distribuzione delle reazioni ma solamente i
suoi vettori caratteristici; in questo caso si dice che siamo in un caso iperstatico o staticamente
indeterminato, in cui il numero di vincoli è sovrabbondante.
Legge di Hooke
Indichiamo ora un criterio che permette di eliminare l’indeterminazione nel caso iperstatico supponendo
ancora che il corpo sia perfettamente rigido e assumendo che si abbiano delle piccole deformazione
dell’appoggio. Più precisamente assumeremo (legge di Hooke) che lo sprofondamento zs
del punto di appoggio sia direttamente proporzionale alla porzione di peso che va a scaricarsi su Ps:
zs = − 1
k φs dove 1/k è un coefficiente (positivo) di proporzionalità. Se si ammette, inoltre, che il
cedimento degli appoggi non sia collegato con alcuna deformazione del corpo sovrastante allora gli N
punti, con cui il corpo stesso sarebbe stato idealmente in contatto con il piano z = 0, si troveranno,
anche ad equilibrio stabilito, in un medesimo piano di equazione z = λx+µy +ν assai prossimo al
piano zs = 0 e dove i coefficienti λ, µ, ν sono a priori indeterminati. Otteniamo quindi un nuovo
sistema di N equazioni
φs = −k(λxs +µys +ν), s = 1,2,...,N , (4.14)
da aggiungere alle tre precedenti. Complessivamente abbiamo un sistema di N +3 equazioni nelle
N +3 incognite φs e λ, µ, ν. In particolare, sostituendo le (4.14) nelle (4.13) si ottiene un sistema
che permette di determinare le λ, µ, ν; una volta determinate queste e sostituite nelle (4.14) si arriva
a determinare le reazioni vincolari.
4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale
4.3.1 Principio dei lavori virtuali
Il principio dei lavori virtuali, nella sua forma più generale, applicabile tanto ai problemi statici
quanto a quelli dinamici, si può enunciare nei seguenti termini: