Note del corso di Fisica Matematica A

88 4 Statica
4.2.8 Equilibrio di solidi appoggiati
Corpo pesante su un piano orizzontale
Sia S un solido pesante appoggiato in piú punti ad
un piano orizzontale. Se i punti di appoggio sono in un
numero finito, diremo perimetro d’appoggio quello di
un poligono convesso, avente tutti i suoi vertici in punti
d’appoggio, e tale che nessun appoggio resti al di fuori di
esso. La nozione di perimetro di appoggio si estende al caso
generale mistilineo (formato da segmenti e archi di curva),
con la condizione che ogni vertice sia un punto di appoggio.
In ogni appoggio Ps, s = 1,2,...,N, si avrá una certa
reazioneφs direttadall’appoggioversoilcorpoe,adottando
l’ipotesiidealedell’assenzadiattrito,illorosistemaéequivalente
(vettorialmente) al loro risultante applicato in un
certo punto Q (centro delle reazioni) interno, o almeno non
esterno, al perimetro di appoggio; infatti il sistema delle
reazioni vincolari (Ps,Φs) é costituito da un insieme di vettori
paralleli ed equiversi. Tale reazione, per soddisfare le
condizioni di equilibrio, deve essere equilibrata dal peso to-
Φ
.
.
Φ
.
.
.
.
.
.
.
Φ
Fig. 4.4. Il perimetro d’appoggio é un
poligono convesso, avente vertici coincidenti con
punti d’appoggio e gli eventuali ulteriori punti
d’appoggio sono non esterni al poligono.
tale p applicato nel baricentro G, quindi la verticale del baricentro deve passare per Q. Cioé: per
l’equilibrio di un solido pesante su un sostegno piano orizzontale é necessario che la
proiezione del baricentro su tale piano sia interna, o almeno non esterna, al perimetro
di appoggio. Cioé il baricentro sia sostenuto.
Tale condizione é pure sufficiente: infatti, dato un vettore (Q,−p) applicato in un punto interno
al perimetro di appoggio con p normale al piano e assegnati i punti Ps di appoggio, s = 1,...,N
(N ≥ 3), esiste almeno un sistema di vettori (Ps,φs), con φs parallelo a p, equivalente a (Q,−p) (in
generale ne esistono infiniti quando N > 3).
In particolare per tre appoggi P1, P2, P3 si determinano anche le reazioni mentre, per un numero
di appoggi maggiore di tre, la distribuzione delle reazioni non risulta individuata; rimane una
indeterminazione tanto maggiore, quanto piú grande é il numero degli appoggi. Più in dettaglio:
supponiamo di avere N ≥ 3 appoggi Ps sopra un piano orizzontale di coordinate Ps = Ps(xs,ys,0),
s = 1,2,...,N, rispetto ad un sistema di riferimento avente come centro la proiezione del baricentro
nel piano. Assumendo l’assenza di attrito avremo che le reazioni vincolari sono normali al piano
di appoggio, più precisamente deve essere φs = φs ˆ k, φs ≥ 0. Le equazioni cardinali della statica,
proiettate lungo gli assi prendendo come origine degli assi O la proiezione del baricentro sul piano e
scegliendo come polo di riduzione questo punto, assumono la forma
⎧
⎪⎨ 0 =
⎪⎩
N s=1φs −p
0 = N s=1xsφs
0 = N s=1ysφs
(4.13)
dove p = −pˆ k. È immediato osservare che se N = 3 allora questo sistema ammette una unica
soluzione e si può provare che
φs = p ∆s
, s = 1,2,3,
∆