Note del corso di Fisica Matematica A
Note del corso di Fisica Matematica A
Note del corso di Fisica Matematica A
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
88 4 Statica<br />
4.2.8 Equilibrio <strong>di</strong> soli<strong>di</strong> appoggiati<br />
Corpo pesante su un piano orizzontale<br />
Sia S un solido pesante appoggiato in piú punti ad<br />
un piano orizzontale. Se i punti <strong>di</strong> appoggio sono in un<br />
numero finito, <strong>di</strong>remo perimetro d’appoggio quello <strong>di</strong><br />
un poligono convesso, avente tutti i suoi vertici in punti<br />
d’appoggio, e tale che nessun appoggio resti al <strong>di</strong> fuori <strong>di</strong><br />
esso. La nozione <strong>di</strong> perimetro <strong>di</strong> appoggio si estende al caso<br />
generale mistilineo (formato da segmenti e archi <strong>di</strong> curva),<br />
con la con<strong>di</strong>zione che ogni vertice sia un punto <strong>di</strong> appoggio.<br />
In ogni appoggio Ps, s = 1,2,...,N, si avrá una certa<br />
reazioneφs <strong>di</strong>rettadall’appoggioversoilcorpoe,adottando<br />
l’ipotesiideale<strong>del</strong>l’assenza<strong>di</strong>attrito,illorosistemaéequivalente<br />
(vettorialmente) al loro risultante applicato in un<br />
certo punto Q (centro <strong>del</strong>le reazioni) interno, o almeno non<br />
esterno, al perimetro <strong>di</strong> appoggio; infatti il sistema <strong>del</strong>le<br />
reazioni vincolari (Ps,Φs) é costituito da un insieme <strong>di</strong> vettori<br />
paralleli ed equiversi. Tale reazione, per sod<strong>di</strong>sfare le<br />
con<strong>di</strong>zioni <strong>di</strong> equilibrio, deve essere equilibrata dal peso to-<br />
Φ<br />
.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
.<br />
Φ <br />
.<br />
.<br />
<br />
.<br />
.<br />
<br />
<br />
.<br />
.<br />
.<br />
Φ<br />
<br />
<br />
<br />
Fig. 4.4. Il perimetro d’appoggio é un<br />
poligono convesso, avente vertici coincidenti con<br />
punti d’appoggio e gli eventuali ulteriori punti<br />
d’appoggio sono non esterni al poligono.<br />
tale p applicato nel baricentro G, quin<strong>di</strong> la verticale <strong>del</strong> baricentro deve passare per Q. Cioé: per<br />
l’equilibrio <strong>di</strong> un solido pesante su un sostegno piano orizzontale é necessario che la<br />
proiezione <strong>del</strong> baricentro su tale piano sia interna, o almeno non esterna, al perimetro<br />
<strong>di</strong> appoggio. Cioé il baricentro sia sostenuto.<br />
Tale con<strong>di</strong>zione é pure sufficiente: infatti, dato un vettore (Q,−p) applicato in un punto interno<br />
al perimetro <strong>di</strong> appoggio con p normale al piano e assegnati i punti Ps <strong>di</strong> appoggio, s = 1,...,N<br />
(N ≥ 3), esiste almeno un sistema <strong>di</strong> vettori (Ps,φs), con φs parallelo a p, equivalente a (Q,−p) (in<br />
generale ne esistono infiniti quando N > 3).<br />
In particolare per tre appoggi P1, P2, P3 si determinano anche le reazioni mentre, per un numero<br />
<strong>di</strong> appoggi maggiore <strong>di</strong> tre, la <strong>di</strong>stribuzione <strong>del</strong>le reazioni non risulta in<strong>di</strong>viduata; rimane una<br />
indeterminazione tanto maggiore, quanto piú grande é il numero degli appoggi. Più in dettaglio:<br />
supponiamo <strong>di</strong> avere N ≥ 3 appoggi Ps sopra un piano orizzontale <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate Ps = Ps(xs,ys,0),<br />
s = 1,2,...,N, rispetto ad un sistema <strong>di</strong> riferimento avente come centro la proiezione <strong>del</strong> baricentro<br />
nel piano. Assumendo l’assenza <strong>di</strong> attrito avremo che le reazioni vincolari sono normali al piano<br />
<strong>di</strong> appoggio, più precisamente deve essere φs = φs ˆ k, φs ≥ 0. Le equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la statica,<br />
proiettate lungo gli assi prendendo come origine degli assi O la proiezione <strong>del</strong> baricentro sul piano e<br />
scegliendo come polo <strong>di</strong> riduzione questo punto, assumono la forma<br />
⎧<br />
⎪⎨ 0 =<br />
⎪⎩<br />
N s=1φs −p<br />
0 = N s=1xsφs<br />
0 = N s=1ysφs<br />
(4.13)<br />
dove p = −pˆ k. È imme<strong>di</strong>ato osservare che se N = 3 allora questo sistema ammette una unica<br />
soluzione e si può provare che<br />
φs = p ∆s<br />
, s = 1,2,3,<br />
∆