Note del corso di Fisica Matematica A

4.2 Equazioni cardinali della statica 87
Ψe(O)·â = 0 dove O è un punto dell’asse. Ma per l’equilibrio è necessario che si annulli il momento
risultante di tutte le forze esterne rispetto ad un qualsiasi punto e, quindi, anche rispetto ad una
retta qualsiasi, e in particolare all’asse. Quindi, indicando con Ωa il momento risultante delle forze
attive proiettato sull’asse a, concludiamo che condizione necessaria per l’equilibrio è:
Ωa = Ωe(O)·â = 0 (4.11)
dove O è un punto dell’asse e â è il versore che individua l’asse. La condizione (4.11) è anche
sufficiente; per mostrare ciò bisogna premettere la seguente osservazione: data una retta a e prefissati
ad arbitrio due vettori Φe ed Ψe(O), sotto la condizione che il secondo sia ortogonale ad a, esistono
infiniti sistemi (fra loro equivalenti) di vettori applicati in punti assegnati della retta data aventi Re
ed Ψe(O) rispettivamente come risultante e come momento risultante rispetto al punto O. Quindi,
ammessa la (4.11), esistono infiniti sistemi di vettori equivalenti al sistema delle forze attive, e
applicati a quei punti di a che, per ipotesi sono materialmente fissati. Quindi, assegnati i punti di
a materialmente fissati, esiste un sistema di reazioni vincolari compatibile con la natura dei vincoli
che rendono vere le (4.9). Abbiamo pertanto che: affinché le forze direttamente applicate ad
un solido, avente un asse fisso, si facciano equilibrio è necessario e sufficiente che esse
abbiano momento risultante nullo rispetto a quest’asse.
Nel caso di un solido avente asse fisso le equazioni cardinali dell’equilibrio, per ciò che riguarda le
reazioni, dicono soltanto che il loro risultante e il loro momento risultante (rispetto ad un dato punto)
devono essere direttamente opposti al risultante e all’analogo momento risultante delle forze attive,
e lasciano indeterminata (subordinatamente a queste condizioni d’insieme) la distribuzione
locale delle reazioni nei singoli punti dell’asse, che son tenuti fissi. Più precisamente, le
equazionicardinaliportanoaconcluderecheincondizionistatichel’azionedeivincolisipuòsostituire,
indifferentemente, con uno qualsiasi dei sistemi (fra loro vettorialmente equivalenti) di reazioni,
applicate nei punti tenuti fissi, e aventi risultante e momento risultante direttamente opposti a quelli
delle forze attive.
Nel caso in cui i punti dell’asse a, effettivamente fissati, sono soltanto due, O e O ′ . Le reazioni cui
l’asse a è realmente soggetto sono, allora, due sole: una φ applicata in O e l’altra φ ′ applicata in O ′ .
Ora, essendo il solido in equilibrio, si conosce il risultante di queste forze e il loro momento risultante.
Concludiamo che la indeterminazione di φ e φ ′ si riduce, in questo caso, a due componenti assiali,
direttamente opposti. Se si sapesse, per esempio, che φ ′ è normale all’asse fisso, entrambe le reazioni
rimarrebbero completamente determinate.
Quando é possibile determinare la distribuzione delle singole reazioni vincolari esterne allora
si parla di sistema staticamente determinato; altrimenti si parla di sistema staticamente
indeterminato o iperstatico.
Solido con asse scorrevole su se stesso
La condizione di equilibrio diventa:
Ra = Re ·â = 0, Ωa = Ωe(O)·â = 0 (4.12)
dove â è il versore che individua la direzione dell’asse e dove O è un punto qualunque dell’asse. Cioé:
condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un solido con asse scorrevole su
se stesso è che si annullino, rispetto all’asse, la componente del vettore risultante e il
momento risultante delle forze attive.