Note del corso di Fisica Matematica A
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4.2 Equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la statica 87<br />
Ψe(O)·â = 0 dove O è un punto <strong>del</strong>l’asse. Ma per l’equilibrio è necessario che si annulli il momento<br />
risultante <strong>di</strong> tutte le forze esterne rispetto ad un qualsiasi punto e, quin<strong>di</strong>, anche rispetto ad una<br />
retta qualsiasi, e in particolare all’asse. Quin<strong>di</strong>, in<strong>di</strong>cando con Ωa il momento risultante <strong>del</strong>le forze<br />
attive proiettato sull’asse a, conclu<strong>di</strong>amo che con<strong>di</strong>zione necessaria per l’equilibrio è:<br />
Ωa = Ωe(O)·â = 0 (4.11)<br />
dove O è un punto <strong>del</strong>l’asse e â è il versore che in<strong>di</strong>vidua l’asse. La con<strong>di</strong>zione (4.11) è anche<br />
sufficiente; per mostrare ciò bisogna premettere la seguente osservazione: data una retta a e prefissati<br />
ad arbitrio due vettori Φe ed Ψe(O), sotto la con<strong>di</strong>zione che il secondo sia ortogonale ad a, esistono<br />
infiniti sistemi (fra loro equivalenti) <strong>di</strong> vettori applicati in punti assegnati <strong>del</strong>la retta data aventi Re<br />
ed Ψe(O) rispettivamente come risultante e come momento risultante rispetto al punto O. Quin<strong>di</strong>,<br />
ammessa la (4.11), esistono infiniti sistemi <strong>di</strong> vettori equivalenti al sistema <strong>del</strong>le forze attive, e<br />
applicati a quei punti <strong>di</strong> a che, per ipotesi sono materialmente fissati. Quin<strong>di</strong>, assegnati i punti <strong>di</strong><br />
a materialmente fissati, esiste un sistema <strong>di</strong> reazioni vincolari compatibile con la natura dei vincoli<br />
che rendono vere le (4.9). Abbiamo pertanto che: affinché le forze <strong>di</strong>rettamente applicate ad<br />
un solido, avente un asse fisso, si facciano equilibrio è necessario e sufficiente che esse<br />
abbiano momento risultante nullo rispetto a quest’asse.<br />
Nel caso <strong>di</strong> un solido avente asse fisso le equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>l’equilibrio, per ciò che riguarda le<br />
reazioni, <strong>di</strong>cono soltanto che il loro risultante e il loro momento risultante (rispetto ad un dato punto)<br />
devono essere <strong>di</strong>rettamente opposti al risultante e all’analogo momento risultante <strong>del</strong>le forze attive,<br />
e lasciano indeterminata (subor<strong>di</strong>natamente a queste con<strong>di</strong>zioni d’insieme) la <strong>di</strong>stribuzione<br />
locale <strong>del</strong>le reazioni nei singoli punti <strong>del</strong>l’asse, che son tenuti fissi. Più precisamente, le<br />
equazionicar<strong>di</strong>naliportanoaconcluderecheincon<strong>di</strong>zionistatichel’azionedeivincolisipuòsostituire,<br />
in<strong>di</strong>fferentemente, con uno qualsiasi dei sistemi (fra loro vettorialmente equivalenti) <strong>di</strong> reazioni,<br />
applicate nei punti tenuti fissi, e aventi risultante e momento risultante <strong>di</strong>rettamente opposti a quelli<br />
<strong>del</strong>le forze attive.<br />
Nel caso in cui i punti <strong>del</strong>l’asse a, effettivamente fissati, sono soltanto due, O e O ′ . Le reazioni cui<br />
l’asse a è realmente soggetto sono, allora, due sole: una φ applicata in O e l’altra φ ′ applicata in O ′ .<br />
Ora, essendo il solido in equilibrio, si conosce il risultante <strong>di</strong> queste forze e il loro momento risultante.<br />
Conclu<strong>di</strong>amo che la indeterminazione <strong>di</strong> φ e φ ′ si riduce, in questo caso, a due componenti assiali,<br />
<strong>di</strong>rettamente opposti. Se si sapesse, per esempio, che φ ′ è normale all’asse fisso, entrambe le reazioni<br />
rimarrebbero completamente determinate.<br />
Quando é possibile determinare la <strong>di</strong>stribuzione <strong>del</strong>le singole reazioni vincolari esterne allora<br />
si parla <strong>di</strong> sistema staticamente determinato; altrimenti si parla <strong>di</strong> sistema staticamente<br />
indeterminato o iperstatico.<br />
Solido con asse scorrevole su se stesso<br />
La con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> equilibrio <strong>di</strong>venta:<br />
Ra = Re ·â = 0, Ωa = Ωe(O)·â = 0 (4.12)<br />
dove â è il versore che in<strong>di</strong>vidua la <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>l’asse e dove O è un punto qualunque <strong>del</strong>l’asse. Cioé:<br />
con<strong>di</strong>zione necessaria e sufficiente per l’equilibrio <strong>di</strong> un solido con asse scorrevole su<br />
se stesso è che si annullino, rispetto all’asse, la componente <strong>del</strong> vettore risultante e il<br />
momento risultante <strong>del</strong>le forze attive.