Note del corso di Fisica Matematica A

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86 4 Statica Osserviamo che le (4.9) (così come nelle (4.7)) le incognite sono, oltre ai parametri lagrangiani, anche le reazioni vincolari. 4.2.7 Esempi Solido con un punto fisso O Se al solido S sono applicate certe date forze di vettore risultante Re, per avere tutte le forze esterne agenti su S dobbiamo aggiungere alle forze attive le reazioni vincolari applicate nel punto fisso O e di vettore risultante Φe. Denotando con Ωe(O) il momento risultante rispetto ad O delle sole forze attive abbiamo come condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio del solido le due equazioni: Re +Φe = 0, Ωe(O) = 0. (4.10) La equazione Re+Φe = 0 non costituisce alcuna restrizione per le forze attive, ma serve a individuare la reazione Φe del punto fisso O. Condizione necessaria e sufficienteperl’equilibrioèla Ωe(O) = 0, ossia l’annullarsi del momento risultante di tutte le forze direttamente applicate rispetto al punto tenuto fisso. Osserviamo che un corpo rigido con punto fisso è un sistema a tre gradi di libertà e possiamo assumere gli angoli di Eulero quali parametri lagrangiani. L’equazione Ωe(O) = 0 è un’equazione vettoriale che equivale a tre equazioni scalari nelle tre incognite rappresentate dai parametri lagrangiani. . Φ . . . Fig. 4.3. Figura a sinistra: corpo rigido con punto fisso O. Le reazioni vincolari esterne sono tutte applicate in O e hanno verso e direzione totalmente incognite. Figura a destra: corpo rigido con asse a fisso. Le reazioni vincolari esterne sono tutte applicate in punti Os, s = 1,2,...,N con N ≥ 2, dell’asse e hanno verso e direzione totalmente incognite. Solido con asse fisso Sia S un solido girevole intorno ad un asse fisso a, con cui sia rigidamente connesso. Indichiamo con Re il vettore risultante delle forze esterne attive che lo sollecitano. Oltre a queste agiranno su S certe reazioni vincolari (O1,φ1),...,(ON,φN), di vettore risultante Φe = N s=1φs, che saranno tutte applicate in punti dell’asse, quindi avranno ciascuna momento nullo rispetto alla retta a, cioé Φ Φ Φ
4.2 Equazioni cardinali della statica 87 Ψe(O)·â = 0 dove O è un punto dell’asse. Ma per l’equilibrio è necessario che si annulli il momento risultante di tutte le forze esterne rispetto ad un qualsiasi punto e, quindi, anche rispetto ad una retta qualsiasi, e in particolare all’asse. Quindi, indicando con Ωa il momento risultante delle forze attive proiettato sull’asse a, concludiamo che condizione necessaria per l’equilibrio è: Ωa = Ωe(O)·â = 0 (4.11) dove O è un punto dell’asse e â è il versore che individua l’asse. La condizione (4.11) è anche sufficiente; per mostrare ciò bisogna premettere la seguente osservazione: data una retta a e prefissati ad arbitrio due vettori Φe ed Ψe(O), sotto la condizione che il secondo sia ortogonale ad a, esistono infiniti sistemi (fra loro equivalenti) di vettori applicati in punti assegnati della retta data aventi Re ed Ψe(O) rispettivamente come risultante e come momento risultante rispetto al punto O. Quindi, ammessa la (4.11), esistono infiniti sistemi di vettori equivalenti al sistema delle forze attive, e applicati a quei punti di a che, per ipotesi sono materialmente fissati. Quindi, assegnati i punti di a materialmente fissati, esiste un sistema di reazioni vincolari compatibile con la natura dei vincoli che rendono vere le (4.9). Abbiamo pertanto che: affinché le forze direttamente applicate ad un solido, avente un asse fisso, si facciano equilibrio è necessario e sufficiente che esse abbiano momento risultante nullo rispetto a quest’asse. Nel caso di un solido avente asse fisso le equazioni cardinali dell’equilibrio, per ciò che riguarda le reazioni, dicono soltanto che il loro risultante e il loro momento risultante (rispetto ad un dato punto) devono essere direttamente opposti al risultante e all’analogo momento risultante delle forze attive, e lasciano indeterminata (subordinatamente a queste condizioni d’insieme) la distribuzione locale delle reazioni nei singoli punti dell’asse, che son tenuti fissi. Più precisamente, le equazionicardinaliportanoaconcluderecheincondizionistatichel’azionedeivincolisipuòsostituire, indifferentemente, con uno qualsiasi dei sistemi (fra loro vettorialmente equivalenti) di reazioni, applicate nei punti tenuti fissi, e aventi risultante e momento risultante direttamente opposti a quelli delle forze attive. Nel caso in cui i punti dell’asse a, effettivamente fissati, sono soltanto due, O e O ′ . Le reazioni cui l’asse a è realmente soggetto sono, allora, due sole: una φ applicata in O e l’altra φ ′ applicata in O ′ . Ora, essendo il solido in equilibrio, si conosce il risultante di queste forze e il loro momento risultante. Concludiamo che la indeterminazione di φ e φ ′ si riduce, in questo caso, a due componenti assiali, direttamente opposti. Se si sapesse, per esempio, che φ ′ è normale all’asse fisso, entrambe le reazioni rimarrebbero completamente determinate. Quando é possibile determinare la distribuzione delle singole reazioni vincolari esterne allora si parla di sistema staticamente determinato; altrimenti si parla di sistema staticamente indeterminato o iperstatico. Solido con asse scorrevole su se stesso La condizione di equilibrio diventa: Ra = Re ·â = 0, Ωa = Ωe(O)·â = 0 (4.12) dove â è il versore che individua la direzione dell’asse e dove O è un punto qualunque dell’asse. Cioé: condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un solido con asse scorrevole su se stesso è che si annullino, rispetto all’asse, la componente del vettore risultante e il momento risultante delle forze attive.
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Fisica Matematica A 1 Marzo, 2013
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