Note del corso di Fisica Matematica A

4.2 Equazioni cardinali della statica 85
Le equazioni (4.7), condizioni necessarie per l’ equilibrio, non sono, in generale, condizioni sufficienticomecisipuòrenderecontopensandoalcasodiduepuntiliberisoggettiallamutuaattrazione
gravitazionale.
Vediamo due esempi:
i. Consideriamo una catena pesante, in equilibrio ed appesa per gli estremi a due ganci A e B. Le
forze esterne sono le reazioni (A,φA) e (B,φB) applicate nei due ganci e i pesi sui singoli anelli
che possono essere sostituiti con il peso totale (G,p) della catena applicato sulla verticale del
baricentro G. La condizione necessaria per l’equilibrio (4.7) implica che i tre vettori φA, φB e
p costituiscano un sistema equilibrato, cioé che siano complanari e che le linee di azione delle
reazioni vincolari si incontrino sulla verticale passante per il baricentro.
ii. Consideriamo un sistema pesante S appoggiato ad un suolo orizzontale in più punti. Le reazioni
vincolari nei punti di appoggio, comunque disposti, devono esercitare una forza di intensità −p
per sostenere il sistema pesante S, dove p denota il vettore della forza peso.
4.2.6 Postulato caratteristico dei solidi e sufficienza delle equazioni cardinali della statica
Le equazioni cardinali (4.7) che, per un sistema materiale qualsiasi, risultano soltanto necessarie
per l’equilibrio, diventano anche sufficienti nel caso dei solidi. Dove diremo solido ogni sistema
materiale che, di fronte a qualsiasi sollecitazione ed in qualsiasi condizione di moto, si comporti come
assolutamente rigido; cioé le mutue distanze tra i punti rimangono inalterate.
Enunciamo il seguente principio di evidenza sperimentale:
Postulato caratteristico dei solidi. L’equilibrio di un solido non si altera, quando a due suoi
punti, quali si vogliano, si applicano due forze direttamente opposte (cioé di vettori −F e F
dirette lungo la congiungente).
Da tale principio, dai risultati su sistemi di forze equivalenti già visti e ricordando che l’equilibrio
di un solido S non risulta turbato se a due o più forze, applicate ad un medesimo punto del
sistema, si sostituisce la rispettiva risultante o, viceversa, se una forza agente su di un punto di
S si decompone comunque in una o più forze, applicate a quel medesimo punto, allora possiamo
affermare che: l’equilibrio di un solido non si altera quando al sistema delle forze (attive
e vincolari) effettivamente agenti su di esso si sostituisca un qualsiasi altro sistema di
forze, equivalente al primitivo; cioé avente il medesimo vettore risultante ed il medesimo
momento risultante rispetto ad ogni punto. In particolare se le (4.7) sono soddisfatte allora
possiamo sostituire alle forze effettivamente agenti sul solido un sistema di forze nulle. Da quanto
enunciato segue che: nel caso dei solidi le condizioni cardinali dell’equilibrio (4.7) non sono
soltanto necessarie ma anche sufficienti. Così possiamo affermare che:
Teorema 4.18 (Equazioni cardinali della statica). Condizionenecessaria e sufficiente affinché
un corpo rigido sia in quiete è che esista esista un sistema di reazioni vincolari, compatibile con la
natura dei vincoli, tale che le equazioni
Re +Φe = 0
(4.9)
Ωe(O)+Ψe(O) = 0
risultano soddisfatte. Queste equazioni prendono il nome di equazioni cardinali della statica.
Re ed Ωe(O) sono il vettore risultante ed il momento risultante rispetto ad un polo qualunque della
forze attive esterne; Φe ed Ψe(O) sono il vettore risultante ed il momento risultante della reazioni
vincolari esterne.