Note del corso di Fisica Matematica A

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84 4 Statica i. Forze esercitate su Ps dagli altri punti dello stesso sistema S; queste si dicono forze interne, attive e vincolari, e le denoteremo rispettivamente Fs,i e φs,i. ii. Forze di altra origine, esterne al sistema; queste si dicono forze esterne, attive e vincolari, e le denoteremo rispettivamente Fs,e e φs,e. Le forze interne, considerate nel loro insieme, sono a due a due, direttamente opposte e dirette lungo la congiungente in virtú del III◦ principio della Dinamica, quindi in ogni sistema materiale sollecitato le forze interne sono, per la loro stessa natura, tali che i vettori applicati, che le rappresentano, costituiscono un sistema equivalente ad zero o equilibrato; cioé aventi nulli il risultante N N Ri +Φi = 0 dove Ri = Fs,i e Φi = ed il momento risultante (rispetto ad ogni centro di riduzione): dove s=1 Ωi(O)+Ψi(O) = 0 φs,i s=1 N N Ωi(O) = Fs,i ×(O−Ps) e Ψi(O) = φs,i ×(O−Ps). s=1 s=1 Si noti che questa osservazione è applicabile ad ogni sistema S ′ ottenuto isolando idealmente ogni parte di S dove ora le forze dovute ai punti di S esterni ad S ′ vanno riguardate come forze esterne. Equazioni cardinali dell’equilibrio: condizione necessaria Teorema 4.17 (Equazioni cardinali dell’equilibrio). Se un qualsiasi sistema materiale sollecitato è in equilibrio, il sistema di vettori applicati che rappresentano le forze esterne, agenti sul sistema, è equivalente a zero. Se, rispetto ad un qualsiasi centro di riduzione O, sono Re, Φe e Ωe(O), Ψe(O) il vettore risultante e il momento risultante delle forze esterne attive e vincolari, la condizione di equilibrio comporta le seguenti equazioni vettoriali: Re +Φe = 0 (4.7) Ωe(O)+Ψe(O) = 0 dette equazioni cardinali della statica. Dimostrazione. Poiché tutti i punti sono supposti in equilibrio allora per ogni punto Ps deve essere 0 = Fs,i +Fs,e +φs,i +φs,e, s = 1,2,...,N, (4.8) dove Fs,i rappresenta il vettore della forza risultante di tutte le forze attive interne applicate a Ps, Fs,e rappresenta il vettore della forza risultante di tutte le forze attive esterne applicate a Ps, φs,i rappresenta il vettore della forza risultante di tutte le reazioni vincolari interne applicate a Ps e φs,e rappresenta il vettore della forza risultante di tutte le reazioni vincolari esterne applicate a Ps. Sommando le (4.8) rispetto ad s e ricordando che le forze interne (sia vincolari che attive) costituiscono un sistema equivalente al sistema nullo allora si ottiene la prima delle (4.7). Moltiplicando (vettorialmente) le (4.8) per O − Ps e poi sommando rispetto ad s e ricordando che le forze interne (sia vincolari che attive) costituiscono un sistema equivalente al sistema nullo allora si ottiene la seconda delle (4.7) completando così la dimostrazione.
4.2 Equazioni cardinali della statica 85 Le equazioni (4.7), condizioni necessarie per l’ equilibrio, non sono, in generale, condizioni sufficienticomecisipuòrenderecontopensandoalcasodiduepuntiliberisoggettiallamutuaattrazione gravitazionale. Vediamo due esempi: i. Consideriamo una catena pesante, in equilibrio ed appesa per gli estremi a due ganci A e B. Le forze esterne sono le reazioni (A,φA) e (B,φB) applicate nei due ganci e i pesi sui singoli anelli che possono essere sostituiti con il peso totale (G,p) della catena applicato sulla verticale del baricentro G. La condizione necessaria per l’equilibrio (4.7) implica che i tre vettori φA, φB e p costituiscano un sistema equilibrato, cioé che siano complanari e che le linee di azione delle reazioni vincolari si incontrino sulla verticale passante per il baricentro. ii. Consideriamo un sistema pesante S appoggiato ad un suolo orizzontale in più punti. Le reazioni vincolari nei punti di appoggio, comunque disposti, devono esercitare una forza di intensità −p per sostenere il sistema pesante S, dove p denota il vettore della forza peso. 4.2.6 Postulato caratteristico dei solidi e sufficienza delle equazioni cardinali della statica Le equazioni cardinali (4.7) che, per un sistema materiale qualsiasi, risultano soltanto necessarie per l’equilibrio, diventano anche sufficienti nel caso dei solidi. Dove diremo solido ogni sistema materiale che, di fronte a qualsiasi sollecitazione ed in qualsiasi condizione di moto, si comporti come assolutamente rigido; cioé le mutue distanze tra i punti rimangono inalterate. Enunciamo il seguente principio di evidenza sperimentale: Postulato caratteristico dei solidi. L’equilibrio di un solido non si altera, quando a due suoi punti, quali si vogliano, si applicano due forze direttamente opposte (cioé di vettori −F e F dirette lungo la congiungente). Da tale principio, dai risultati su sistemi di forze equivalenti già visti e ricordando che l’equilibrio di un solido S non risulta turbato se a due o più forze, applicate ad un medesimo punto del sistema, si sostituisce la rispettiva risultante o, viceversa, se una forza agente su di un punto di S si decompone comunque in una o più forze, applicate a quel medesimo punto, allora possiamo affermare che: l’equilibrio di un solido non si altera quando al sistema delle forze (attive e vincolari) effettivamente agenti su di esso si sostituisca un qualsiasi altro sistema di forze, equivalente al primitivo; cioé avente il medesimo vettore risultante ed il medesimo momento risultante rispetto ad ogni punto. In particolare se le (4.7) sono soddisfatte allora possiamo sostituire alle forze effettivamente agenti sul solido un sistema di forze nulle. Da quanto enunciato segue che: nel caso dei solidi le condizioni cardinali dell’equilibrio (4.7) non sono soltanto necessarie ma anche sufficienti. Così possiamo affermare che: Teorema 4.18 (Equazioni cardinali della statica). Condizionenecessaria e sufficiente affinché un corpo rigido sia in quiete è che esista esista un sistema di reazioni vincolari, compatibile con la natura dei vincoli, tale che le equazioni Re +Φe = 0 (4.9) Ωe(O)+Ψe(O) = 0 risultano soddisfatte. Queste equazioni prendono il nome di equazioni cardinali della statica. Re ed Ωe(O) sono il vettore risultante ed il momento risultante rispetto ad un polo qualunque della forze attive esterne; Φe ed Ψe(O) sono il vettore risultante ed il momento risultante della reazioni vincolari esterne.
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Fisica Matematica A 1 Marzo, 2013
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A.1.3 Attrazione di una corona sfer
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