Note del corso di Fisica Matematica A

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2 1 Calcolo Vettoriale Definizione 1.1. Uno spazio vettoriale su R è un insieme non vuoto V in cui sono definite due operazioni, l’addizione e la moltiplicazione per un numero reale, tali che: i. l’addizione è associativa e commutativa; ii. esiste un elemento neutro 0 ∈ V per l’operazione di addizione, cioé tale che u+0 = 0+u = u per ogni u ∈ V; iii.per ogni u ∈ V esiste l’elemento opposto v ∈ V tale che u+v = 0; iv.esiste un elemento neutro 1 ∈ R per l’operazione di moltiplicazione, cioé tale che u1 = 1u = u per ogni u ∈ V; v. sussiste la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma: λ(u+v) = λu+λv, ∀u,v ∈ V, ∀λ ∈ R. L’insieme V può essere strutturato come spazio vettoriale sui reali introducendo in modo naturale la usuale somma tra segmenti e il prodotto esterno come segue. Dati due vettori u = B − A e v = C − B rappresentati da due segmenti avente il secondo estremo del primo vettore coincidente con il primo estremo del secondo vettore; si definisce somma tra i due vettori il vettore u + v = (B−A)+(C−B) = C−A. Dato un vettore u ed un numero reale λ si definisce il prodotto esterno il vettore λu avente la stessa direzione di u, verso concorde con il verso di u se λ > 0 altrimenti verso opposto, e modulo uguale al numero reale positivo |λ|u. Il vettore nullo coincide con il vettore neutro. 1.1.2 Rappresentazione cartesiana dei vettori v x i v z k Fig. 1.3. Datounsistemadicoordinatecartesiani ortogonali (O;x,y,z), associato ai versori î,ˆj e ˆ k, ogni vettore v si puó esprimere attraverso le sue componenti vx, vy e vz. 1.1.3 Prodotto scalare j v y Considerato un sistema di coordinate cartesiani ortogonali (O;x,y,z), tali da costituire una terna destra, introduciamo i versori î, ˆj e ˆ k (talvolta anche denotati i, j e k) aventi verso e direzione concordi con gli assi coordinati. I versori fondamentali costituiscono una base ortonormale dello spazio vettoriale V e ad ogni vettore v corrisponde in modo univoco una terna di numeri reali vx, vy, vz, dette componenti del vettore, tali che v = vxî+vyˆj+vz ˆ k. È immediato osservare che due vettori coincidono se, e solo se, coincidono le componenti. Inoltre la somma tra vettori ed il prodotto esterno può essere calcolato attraverso le loro componenti: u+v = (uxî+uyˆj+uz ˆ k)+(vxî+vyˆj+vz ˆ k) = (ux +vx)î+(uy +vy)ˆj+(uz +vz) ˆ k λv = λ(vxî+vyˆj+vz ˆ k) = (λvx)î+(λvy)ˆj+(λvz) ˆ k Definizione 1.2. Dati due vettori u e v si definisce prodotto scalare tra i due vettori la grandezza scalare dove α è l’angolo formato dai due vettori. u·v = uvcos(α)
È immediato osservare che il prodotto scalare soddisfa alle seguenti proprietà 1.1 Operazioni sui vettori 3 — commutativa: u·v = v·u — distributiva: (u+v)·w = u·w+v·w — u·v = 0 ⇔ (u = 0) ∨ (v = 0) ∨ (u ⊥ v) — î·î =ˆj·ˆj = ˆ k· ˆ k = 1 e î·ˆj = î· ˆ k =ˆj· ˆ k = 0 — se ux,uy,uz e vx,vy,vz sono le componenti dei due vettori u e v rispetto ad una base assegnata allora il prodotto scalare si può calcolare come u·v = uxvx +uyvy +uzvz In particolare le componenti del vettore u sulla base sono date da ux = u·î, uy = u·ˆj e uz = u· ˆ k — il modulo di un vettore viene calcolato come u = √ u·u = u 2 x +u 2 y +u 2 z 1.1.4 Prodotto vettoriale Definizione 1.3. Dati due vettori u e v si definisce prodotto vettoriale tra i due vettori il vettore w = u×v ortogonale ad entrambi, avente verso tale che la terna u,v,w sia destra e modulo dove α è l’angolo formato dai due vettori. |u×v| = uv|sin(α)| Fig. 1.4. Il prodotto vettoriale tra due vettori u e v é un vettore ortogonale ad entrambi avente modulo coincidente con l’area del parallelogramma di spigoli u e v. È immediato osservare che il prodotto scalare soddisfa alle seguenti proprietà
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