Note del corso di Fisica Matematica A
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4.2 Equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la statica 83<br />
Dimostrazione. Il Corollario segue imme<strong>di</strong>atamente dal Teorema precedente, infatti i due vettori<br />
che costituiscono Σ ′ devono essere equivalenti al sistema nullo, cioé devono costituire una coppia <strong>di</strong><br />
braccio nullo che può essere ridotta al vettore nullo.<br />
4.2.4 Sistemi equivalenti <strong>di</strong> forze<br />
Un sistema <strong>di</strong> forze è rappresentato come un insieme <strong>di</strong> vettori applicati (Ps,Fs), s = 1,...,N.<br />
In analogia con quanto già visto nel primo capitolo possiamo introdurre i vettori caratteristici <strong>del</strong><br />
sistema <strong>di</strong> forze: il vettore risultante: R = N s=1Fs ed il momento risultante rispetto ad un<br />
dato polo O: Ω(O) = N s=1Fs ×(O−Ps). Riassumendo, valgono i seguenti risultati:<br />
i. Due sistemi <strong>di</strong> forze sono tra loro equivalenti se, rispetto ad un dato polo, hanno uguali vettori<br />
caratteristici e sarà inoltre possibile provare che due sistemi <strong>di</strong> forze sono riducibili l’uno all’altro,<br />
me<strong>di</strong>ante operazioni elementari <strong>di</strong> composizione, decomposizione e scorrimento, se, e solo se, essi<br />
sono equivalenti tra loro.<br />
ii. Unsistema<strong>di</strong>forzeèequivalenteadunsistemacostituitodaunaforzaedaunacoppia,ingenerale;<br />
in alcuni casi particolari esso può essere equivalente ad una coppia sola, ad una sola forza e al<br />
sistema nullo. Nel caso in cui il sistema sia equivalente ad una sola forza questa prende il nome<br />
<strong>di</strong> forza risultante.<br />
iii.Introducendo l’invariante I = R·Ω(O) si ha che:<br />
- se I = 0 allora il sistema equivale ad una coppia ed una forza;<br />
- se I = 0 e R = 0 allora il sistema equivale ad una sola forza;<br />
- se I = 0, R = 0 e Ω(O) = 0 allora il sistema equivale ad una sola coppia;<br />
- se I = 0, R = Ω(O) = 0 allora il sistema equivale al sistema nullo.<br />
iv.Nel caso <strong>di</strong> sistemi <strong>di</strong> forze parallele (Ps,Fs) in cui Fs = Fsâ allora si prova che l’invariante I è<br />
sempre nullo; quin<strong>di</strong> se n s=1Fs = 0 allora il sistema <strong>di</strong> forze parallele equivale ad una sola forza<br />
<strong>di</strong> vettore R = ( n s=1Fs)â. Tale forza può essere applicata su un punto C, detto centro <strong>del</strong>le<br />
forze parallele, che risulta essere in<strong>di</strong>pendente dalla <strong>di</strong>rezione â <strong>del</strong>le forze e che ha equazione<br />
ns=1Fs(Ps −O)<br />
C −O = ns=1Fs .<br />
v. Nel caso particolare in cui queste forze parallele siano le forze peso allora Fs = ps = msg ed il<br />
centro <strong>del</strong>le forze parallele ha equazione<br />
ns=1ms(Ps −O)<br />
C −O = ns=1ms cioé coincide con il baricentro.<br />
4.2.5 Con<strong>di</strong>zioni necessarie per l’equilibrio <strong>di</strong> un sistema meccanico<br />
Forze interne ed esterne<br />
Sia S un sistema materiale qualsiasi considerato come un certo insieme <strong>di</strong> punti materiali soggetto<br />
alle sollecitazioni <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> forze, fra le quali anche le reazioni che rappresentano le azioni<br />
<strong>di</strong> eventuali vincoli che limitano la libera mobilità dei singoli punti materiali <strong>di</strong> S. Fissato in S un<br />
punto materiale Ps <strong>di</strong>stingueremo le forze applicate in Ps in due categorie: