Note del corso di Fisica Matematica A

4.2 Equazioni cardinali della statica 83
Dimostrazione. Il Corollario segue immediatamente dal Teorema precedente, infatti i due vettori
che costituiscono Σ ′ devono essere equivalenti al sistema nullo, cioé devono costituire una coppia di
braccio nullo che può essere ridotta al vettore nullo.
4.2.4 Sistemi equivalenti di forze
Un sistema di forze è rappresentato come un insieme di vettori applicati (Ps,Fs), s = 1,...,N.
In analogia con quanto già visto nel primo capitolo possiamo introdurre i vettori caratteristici del
sistema di forze: il vettore risultante: R = N s=1Fs ed il momento risultante rispetto ad un
dato polo O: Ω(O) = N s=1Fs ×(O−Ps). Riassumendo, valgono i seguenti risultati:
i. Due sistemi di forze sono tra loro equivalenti se, rispetto ad un dato polo, hanno uguali vettori
caratteristici e sarà inoltre possibile provare che due sistemi di forze sono riducibili l’uno all’altro,
mediante operazioni elementari di composizione, decomposizione e scorrimento, se, e solo se, essi
sono equivalenti tra loro.
ii. Unsistemadiforzeèequivalenteadunsistemacostituitodaunaforzaedaunacoppia,ingenerale;
in alcuni casi particolari esso può essere equivalente ad una coppia sola, ad una sola forza e al
sistema nullo. Nel caso in cui il sistema sia equivalente ad una sola forza questa prende il nome
di forza risultante.
iii.Introducendo l’invariante I = R·Ω(O) si ha che:
- se I = 0 allora il sistema equivale ad una coppia ed una forza;
- se I = 0 e R = 0 allora il sistema equivale ad una sola forza;
- se I = 0, R = 0 e Ω(O) = 0 allora il sistema equivale ad una sola coppia;
- se I = 0, R = Ω(O) = 0 allora il sistema equivale al sistema nullo.
iv.Nel caso di sistemi di forze parallele (Ps,Fs) in cui Fs = Fsâ allora si prova che l’invariante I è
sempre nullo; quindi se n s=1Fs = 0 allora il sistema di forze parallele equivale ad una sola forza
di vettore R = ( n s=1Fs)â. Tale forza può essere applicata su un punto C, detto centro delle
forze parallele, che risulta essere indipendente dalla direzione â delle forze e che ha equazione
ns=1Fs(Ps −O)
C −O = ns=1Fs .
v. Nel caso particolare in cui queste forze parallele siano le forze peso allora Fs = ps = msg ed il
centro delle forze parallele ha equazione
ns=1ms(Ps −O)
C −O = ns=1ms cioé coincide con il baricentro.
4.2.5 Condizioni necessarie per l’equilibrio di un sistema meccanico
Forze interne ed esterne
Sia S un sistema materiale qualsiasi considerato come un certo insieme di punti materiali soggetto
alle sollecitazioni di un sistema di forze, fra le quali anche le reazioni che rappresentano le azioni
di eventuali vincoli che limitano la libera mobilità dei singoli punti materiali di S. Fissato in S un
punto materiale Ps distingueremo le forze applicate in Ps in due categorie: