Note del corso di Fisica Matematica A
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82 4 Statica<br />
π<br />
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Fig. 4.2. Riduzione <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong> 3 forze a 2 forze.<br />
Teorema 4.15. Ogni sistema Σ <strong>di</strong> vettori applicati è riducibile ad un sistema Σ ′ costituito da due<br />
soli vettori applicati.<br />
Dimostrazione. Dimostriamo prima il teorema nel caso in cui Σ sia costituito dai soli tre vettori<br />
applicati (P1,F1), (P2,F2) e (P3,F3). Se, come caso particolare, le linee <strong>di</strong> azione <strong>di</strong> due vettori<br />
applicati, <strong>di</strong>ciamo (P1,F1) e (P2,F2), sono incidenti in un punto P allora me<strong>di</strong>ante una operazione<br />
elementare <strong>di</strong> scorrimento e poi <strong>di</strong> composizione segue che questi due vettori applicati sono riducibili<br />
all’unico vettore (P,F1 + F2). Se poi i tre vettori applicati sono paralleli e contenuti in un piano<br />
π, cioé P1,P2,P3 ∈ π e Fi = Fiâ con â che giace in π, allora scomponendo F1 = F ′ 1 + F ′′<br />
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π<br />
1, con F ′ 1<br />
e F ′′<br />
1 non paralleli ad â, otteniamo un nuovo sistema <strong>di</strong> quattro vettori applicati (P1,F ′ 1), (P2,F2),<br />
(P1,F ′′<br />
1) e (P3,F3) costituito da due coppie <strong>di</strong> vettori incidenti in un punto e quin<strong>di</strong> riducibile a<br />
due vettori applicati. Rimane quin<strong>di</strong> da <strong>di</strong>mostrare il caso generale in cui le linee <strong>di</strong> azione non<br />
sono tutte parallele tra loro e i punti non appartenenti ad un unico piano o incidenti in un unico<br />
punto. Sia ora r la retta intersezione tra il piano π, avente asse (P2,F2) e passante per P1, ed<br />
il piano π ′ , avente asse (P3,F3) e passante per P1, e sia P un qualunque punto appartenente a<br />
r e <strong>di</strong>stinto da P1. Scomponiamo (P2,F2) lungo le linee PP2 e P1P2 ottenendo un nuovo sistema<br />
(P2,F ′ 2), (P2,F ′′<br />
2) riducibile a (P2,F2); analogamente scomponiamo (P3,F3) lungo le linee PP3 e P1P3<br />
ottenendo un nuovo sistema (P3,F ′ 3), (P3,F ′′<br />
3) riducibile a (P3,F3). Facciamo ora scorrere ciascuno<br />
<strong>di</strong> questi vettori applicati lungo le proprie linee d’azione in modo da ottenere il sistema costituito<br />
dai 5 vettori applicati (P1,F1), (P1,F ′ 2), (P1,F ′ 3), (P,F ′′<br />
2) e (P,F ′′<br />
3) riducibili al sistema costituito da<br />
due vettori applicati (P1,F1 +F ′ 2 +F ′ 3) e (P,F ′′<br />
2 +F ′′<br />
3). Se il sistema è costituito da n > 3 vettori<br />
applicati allora, isolandone tre e riducendo questi a due, si riduce il sistema a n−1 vettori applicati<br />
seguendo lo schema appena descritto; ripetendo questo proce<strong>di</strong>mento n−2 volte alla fine si riduce il<br />
sistema originario a due soli vettori applicati.<br />
Segue il corollario:<br />
Corollario 4.16. Ogni sistema equivalente ad un sistema nullo è riducibile ad un sistema assolutamente<br />
nullo, cioé costituito solo da vettori nulli.