Note del corso di Fisica Matematica A

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82 4 Statica π Fig. 4.2. Riduzione di un sistema di 3 forze a 2 forze. Teorema 4.15. Ogni sistema Σ di vettori applicati è riducibile ad un sistema Σ ′ costituito da due soli vettori applicati. Dimostrazione. Dimostriamo prima il teorema nel caso in cui Σ sia costituito dai soli tre vettori applicati (P1,F1), (P2,F2) e (P3,F3). Se, come caso particolare, le linee di azione di due vettori applicati, diciamo (P1,F1) e (P2,F2), sono incidenti in un punto P allora mediante una operazione elementare di scorrimento e poi di composizione segue che questi due vettori applicati sono riducibili all’unico vettore (P,F1 + F2). Se poi i tre vettori applicati sono paralleli e contenuti in un piano π, cioé P1,P2,P3 ∈ π e Fi = Fiâ con â che giace in π, allora scomponendo F1 = F ′ 1 + F ′′ π 1, con F ′ 1 e F ′′ 1 non paralleli ad â, otteniamo un nuovo sistema di quattro vettori applicati (P1,F ′ 1), (P2,F2), (P1,F ′′ 1) e (P3,F3) costituito da due coppie di vettori incidenti in un punto e quindi riducibile a due vettori applicati. Rimane quindi da dimostrare il caso generale in cui le linee di azione non sono tutte parallele tra loro e i punti non appartenenti ad un unico piano o incidenti in un unico punto. Sia ora r la retta intersezione tra il piano π, avente asse (P2,F2) e passante per P1, ed il piano π ′ , avente asse (P3,F3) e passante per P1, e sia P un qualunque punto appartenente a r e distinto da P1. Scomponiamo (P2,F2) lungo le linee PP2 e P1P2 ottenendo un nuovo sistema (P2,F ′ 2), (P2,F ′′ 2) riducibile a (P2,F2); analogamente scomponiamo (P3,F3) lungo le linee PP3 e P1P3 ottenendo un nuovo sistema (P3,F ′ 3), (P3,F ′′ 3) riducibile a (P3,F3). Facciamo ora scorrere ciascuno di questi vettori applicati lungo le proprie linee d’azione in modo da ottenere il sistema costituito dai 5 vettori applicati (P1,F1), (P1,F ′ 2), (P1,F ′ 3), (P,F ′′ 2) e (P,F ′′ 3) riducibili al sistema costituito da due vettori applicati (P1,F1 +F ′ 2 +F ′ 3) e (P,F ′′ 2 +F ′′ 3). Se il sistema è costituito da n > 3 vettori applicati allora, isolandone tre e riducendo questi a due, si riduce il sistema a n−1 vettori applicati seguendo lo schema appena descritto; ripetendo questo procedimento n−2 volte alla fine si riduce il sistema originario a due soli vettori applicati. Segue il corollario: Corollario 4.16. Ogni sistema equivalente ad un sistema nullo è riducibile ad un sistema assolutamente nullo, cioé costituito solo da vettori nulli.
4.2 Equazioni cardinali della statica 83 Dimostrazione. Il Corollario segue immediatamente dal Teorema precedente, infatti i due vettori che costituiscono Σ ′ devono essere equivalenti al sistema nullo, cioé devono costituire una coppia di braccio nullo che può essere ridotta al vettore nullo. 4.2.4 Sistemi equivalenti di forze Un sistema di forze è rappresentato come un insieme di vettori applicati (Ps,Fs), s = 1,...,N. In analogia con quanto già visto nel primo capitolo possiamo introdurre i vettori caratteristici del sistema di forze: il vettore risultante: R = N s=1Fs ed il momento risultante rispetto ad un dato polo O: Ω(O) = N s=1Fs ×(O−Ps). Riassumendo, valgono i seguenti risultati: i. Due sistemi di forze sono tra loro equivalenti se, rispetto ad un dato polo, hanno uguali vettori caratteristici e sarà inoltre possibile provare che due sistemi di forze sono riducibili l’uno all’altro, mediante operazioni elementari di composizione, decomposizione e scorrimento, se, e solo se, essi sono equivalenti tra loro. ii. Unsistemadiforzeèequivalenteadunsistemacostituitodaunaforzaedaunacoppia,ingenerale; in alcuni casi particolari esso può essere equivalente ad una coppia sola, ad una sola forza e al sistema nullo. Nel caso in cui il sistema sia equivalente ad una sola forza questa prende il nome di forza risultante. iii.Introducendo l’invariante I = R·Ω(O) si ha che: - se I = 0 allora il sistema equivale ad una coppia ed una forza; - se I = 0 e R = 0 allora il sistema equivale ad una sola forza; - se I = 0, R = 0 e Ω(O) = 0 allora il sistema equivale ad una sola coppia; - se I = 0, R = Ω(O) = 0 allora il sistema equivale al sistema nullo. iv.Nel caso di sistemi di forze parallele (Ps,Fs) in cui Fs = Fsâ allora si prova che l’invariante I è sempre nullo; quindi se n s=1Fs = 0 allora il sistema di forze parallele equivale ad una sola forza di vettore R = ( n s=1Fs)â. Tale forza può essere applicata su un punto C, detto centro delle forze parallele, che risulta essere indipendente dalla direzione â delle forze e che ha equazione ns=1Fs(Ps −O) C −O = ns=1Fs . v. Nel caso particolare in cui queste forze parallele siano le forze peso allora Fs = ps = msg ed il centro delle forze parallele ha equazione ns=1ms(Ps −O) C −O = ns=1ms cioé coincide con il baricentro. 4.2.5 Condizioni necessarie per l’equilibrio di un sistema meccanico Forze interne ed esterne Sia S un sistema materiale qualsiasi considerato come un certo insieme di punti materiali soggetto alle sollecitazioni di un sistema di forze, fra le quali anche le reazioni che rappresentano le azioni di eventuali vincoli che limitano la libera mobilità dei singoli punti materiali di S. Fissato in S un punto materiale Ps distingueremo le forze applicate in Ps in due categorie:
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