Note del corso di Fisica Matematica A

4.2 Equazioni cardinali della statica 81
è nullo. Nel caso particolare in cui R = 0 allora segue, da quanto detto, che il sistema equivale ad
un unico vettore applicato in un punto qualunque all’asse centrale; se invece R = 0 allora il sistema
è equivalente ad una coppia di momento M(O).
Osserviamo che al variare della direzione â varia anche l’asse centrale. Si dimostra che:
Teorema 4.14. Sia dato un sistema Σ di vettori applicati paralleli
(Ps,Fs), Fs = Fsâ, s = 1,...,N.
Se R = Râ = 0 allora esiste un unico punto C, detto centro dei vettori paralleli, tale che il
sistema di vettori Σ è equivalente all’unico vettore applicato (C,R) e tale che C non muta se si
cambia la direzione comune dei vettori stessi ma si conservano i punti di applicazione e le lunghezze
dei vettori. Assumendo O l’origine del sistema di riferimento si ha che
C −O =
Ns=1Fs(Ps −O)
.
R
Dimostrazione. La dimostrazione è immediata: infatti C deve essere la soluzione della equazione
M(C) = 0, che deve avere soluzione indipendente da â. Tale equazione ha la forma
N
N
0 = Fsâ×(C −Ps) = â× Fs(C −Ps)
s=1
s=1
che risulta soddisfatta indipendentemente da â se, e soltanto se,
da cui segue la tesi.
4.2.3 Sistemi di vettori applicati riducibili
Operazioni elementari
N
0 = Fs(C −Ps)
s=1
Dato un sistema di vettori applicati Σ chiameremo operazioni elementari le seguenti:
a) Composizione o decomposizione di vettori applicati: ossia la sostituzione di vettori, applicati
nel medesimo punto, con il loro risultante, e viceversa.
b) Scorrimento di vettori lungo la linea d’azione: ossia la sostituzione sulla linea d’azione di un
vettore applicato qualsiasi con un altro equipollente situato in un altro punto della linea d’azione.
Taleoperazioneequivalealla aggiunta o soppressione di due vettori direttamente opposti.
ÈovviocheunsistemadivettoriΣ ′ ottenutaapartiredaΣ medianteunasuccessionedioperazioni
elementari è equivalente al sistema iniziale; infatti le operazioni di composizione o decomposizione
e di scorrimento non alterano i vettori caratteristici di Σ. Vale anche il viceversa: cioé due
sistemi equivalenti sono riducibili l’uno all’altro mediante una successione di operazioni
elementari.
Questa proprietà discende dal seguente Teorema: