Note del corso di Fisica Matematica A

80 4 Statica
Dimostrazione. Consideriamo, per primo, il caso in cui sia l’invariante I nullo:
I = 0 ⇐⇒ (R = 0)∨(M(O) = 0)∨(R ⊥ M(O)).
Se M(O) = 0 allora il sistema equivale al sistema elementare costituito dal solo vettore applicato
(O,R); se M(O) = 0 e R = 0 allora esistono infinite coppie di momento M ed il sistema equivale
ad una di queste coppie; infine se M(O) = 0, R = 0 e M(O) ⊥ R allora esiste un vettore w tale che
M(O) = R×w
Sia ora O ′ tale che O −O ′ = w, per costruzione segue che
M(O ′ ) = M(O)+R×(O ′ −O) = M(O)−R×w = 0
e quindi il sistema equivale ad una unico vettore R applicato in O ′ .
Consideriamo ora il caso in cui l’invariante I sia non nullo e denotiamo con M⊥(O) la componente
perpendicolare a R e con M(O) la componente non nulla (altrimenti l’invariante sarebbe nullo)
parallela a R:
M(O) = M⊥(O)+M(O)
Se M⊥(O) = 0 allora il sistema equivale ad un vettore applicato (O,R) e alla coppia di momento
M(O); se invece M⊥(O) = 0 allora, cambiando il polo O in modo opportuno, il sistema equivale ad
un vettore applicato (O ′ ,R) e alla coppia di momento M(O) dove O ′ e tale che
Sistemi di vettori applicati paralleli
M(O) = R×(O−O ′ ).
Definizione 4.12. Si dice sistema di vettori applicati paralleli un sistema Σ di vettori applicati
(Ps,Fs), s = 1,2,...,N, dove
per un qualche versore â.
Fs = Fsâ, s = 1,2,...,N
Osserviamo che per un sistema di vettori paralleli il vettore risultante, quando non nullo, risulta
essere parallelo al versore â:
N
N
R = Fsâ = Râ, R = Fs
s=1
s=1
Teorema 4.13. Un sistema Σ di vettori applicati paralleli è equivalente ad un unico vettore o ad
una coppia.
Dimostrazione. La dimostrazione è immediata e segue dal fatto che l’invariante
N
N
I = R·M(O) = Fs â· Fsâ×(O−Ps)
s=1 s=1
N
N
= Fs â·â× Fs(O−Ps) = 0
s=1
s=1