Note del corso di Fisica Matematica A

Teorema 4.8. Quando R = 0 e l’invariante è nullo
I = 0
4.2 Equazioni cardinali della statica 79
allora il luogo geometrico dei punti O ′ rispetto ai quali il momento risultante è nullo M(O ′ ) = 0 è
una retta, detta asse centrale, parallela al vettore risultante R.
Sistemi equivalenti di vettori applicati e loro riduzione
Definizione 4.9. Due sistemi di vettori applicati Σ e Σ ′ si dicono equivalenti quando hanno uguale
vettore risultante e momento risultante rispetto ad un dato polo O:
R = R ′ e ∃O | M(O) = M ′ (O). (4.6)
Dalla (4.5) segue che se la (4.6) è vera per un polo O allora è vera per ogni polo.
Esempi:
i. un sistema Σ di vettori applicati ad un medesimo punto
Σ = {(O,F1), (O,F2), ..., (O,FN)}
è equivalente al loro risultante R = N s=1Fs applicato nel medesimo punto;
ii. sono equivalenti tra loro due vettori equipollenti e applicati sulla retta parallela ai vettori stessi.
Definizione 4.10. Diremo coppia ogni sistema formato da due vettori applicati opposti (cioé paralleli
e di verso opposto) (P,F) e (B,−F). La distanza delle rispettive linee d’azione (cioé della retta
passante per il punto di applicazione del vettore e parallela al vettore stesso) si dirà braccio della
coppia.
Essendo il vettore risultante di una coppia nullo allora il momento risultante è indipendente dalla
scelta del polo ed è dato, in modulo, dal prodotto tra il modulo di F e del braccio della coppia.
Inoltre è ovvio dimostrare che dato un vettore M si possono costruire infinite coppie avente M come
momento.
Vale il seguente risultato:
Teorema 4.11 (Formulazione geometrica del Teorema di Mozzi). Un sistema di vettori applicati
Σ avente invariante non nullo I = 0 equivale sempre ad un sistema Σ ′ costituito da
un vettore applicato e da una coppia. Nel caso in cui l’invariante sia nullo I = 0 allora il
sistema è equivalente a:
— un unico vettore applicato (O ′ ,R) se e soltanto se R = 0, dove R è il vettore risultante di Σ
e dove il punto di applicazione O ′ è un punto qualunque dell’asse centrale;
— alla sola coppia se e soltanto se R = 0 e M(O) = 0, dove M(O) è il momento risultante di Σ
rispetto ad un dato polo O;
— al sistema nullo se, e soltanto se, R = M(O) = 0; in quest’ultimo caso si dirà anche che il
sistema di vettori applicati è equilibrato.