Note del corso di Fisica Matematica A
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78 4 Statica<br />
Teorema 4.6. Dati due punti qualunque O e O ′ nello spazio si ha che<br />
M(O ′ ) = M(O)+R×(O ′ −O).<br />
Dimostrazione. La verifica è imme<strong>di</strong>ata:<br />
M(O ′ N<br />
) = Fs ×(O ′ −Ps) =<br />
s=1<br />
N<br />
Fs ×[(O ′ −O)+(O−Ps)]<br />
s=1<br />
= R×(O ′ −O)+M(O). (4.5)<br />
Daquestaproprietàseguechese il vettore risultante R è nullo allora il momento risultante<br />
è in<strong>di</strong>pendente dalla scelta <strong>del</strong> polo, e viceversa.<br />
Definizione 4.7. Dato un sistema Σ <strong>di</strong> vettori applicati avente risultante R e momento risultante,<br />
rispetto ad un polo O, M(O), chiameremo invariante la grandezza scalare<br />
I = M(O)·R.<br />
Proprietà tipica <strong>del</strong>l’invariante è che esso non <strong>di</strong>pende dal polo O. Infatti, siano dati due<br />
punti qualunque O e O ′ , allora dalla (4.5) segue che:<br />
M(O ′ )·R = [R×(O ′ −O)+M(O)]·R = M(O)·R.<br />
In particolare, l’invariante rappresenta la componente <strong>del</strong> momento risultante proiettata<br />
sull’asse avente <strong>di</strong>rezione data dal vettore risultante. Questa componente risulta costante ed<br />
è data da I/R dove R = |R|.<br />
Asse centrale<br />
Dato un sistema Σ <strong>di</strong> vettori applicati aventi vettore risultante R non nullo cerchiamo il luogo<br />
geometrico dei punti O ′ rispetto ai quali il momento risultante M(O ′ ) è parallelo al vettore risultante<br />
R. Si <strong>di</strong>mostra che questo luogo geometrico è una retta avente la stessa <strong>di</strong>rezione <strong>di</strong> R.<br />
Infatti, fissato un punto O generico introduciamo un sistema <strong>di</strong> riferimento centrato in O e con<br />
(O;z) parallelo ed equiverso ad R = R ˆ k. In questo caso la (4.5) proiettata lungo gli assi x, y e z<br />
prende la forma <strong>del</strong>le seguenti tre equazioni scalari<br />
M ′ x = Mx −yR, M ′ y = My +xR, M ′ z = Mz<br />
dove Mx,My,Mz sono le componenti <strong>di</strong> M(O), M ′ x,M ′ y,M ′ z sono le componenti <strong>di</strong> M(O ′ ) e dove<br />
x,y,z sono le coor<strong>di</strong>nate <strong>di</strong> O ′ . Scegliamo ora O ′ tale che M ′ x = M ′ y = 0, cioé<br />
x = − My Mx<br />
, y =<br />
R R .<br />
Il luogo cercato è quin<strong>di</strong> una retta parallela al vettore risultante R e passante per O ′ <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate<br />
(−My/R,Mx/R,z), z ∈ R.<br />
In particolare, il momento risultante calcolato per i punti <strong>di</strong> tale retta risulta avere<br />
modulo minimo rispetto alla scelta <strong>del</strong> polo; infatti per i punti appartenenti a tale retta la<br />
componente ortogonale all’asse stesso è nulla mentre, per ogni punto, la componente parallela è<br />
costante: M ′ z = Mz. Tale grandezza è detta momento minimo e coincide con |I|/R.<br />
Nel caso notevole in cui I = 0 e R = 0 segue che M(O ′ ) = 0 per tutti i punti appartenenti a tale<br />
retta; cioé