Note del corso di Fisica Matematica A

78 4 Statica
Teorema 4.6. Dati due punti qualunque O e O ′ nello spazio si ha che
M(O ′ ) = M(O)+R×(O ′ −O).
Dimostrazione. La verifica è immediata:
M(O ′ N
) = Fs ×(O ′ −Ps) =
s=1
N
Fs ×[(O ′ −O)+(O−Ps)]
s=1
= R×(O ′ −O)+M(O). (4.5)
Daquestaproprietàseguechese il vettore risultante R è nullo allora il momento risultante
è indipendente dalla scelta del polo, e viceversa.
Definizione 4.7. Dato un sistema Σ di vettori applicati avente risultante R e momento risultante,
rispetto ad un polo O, M(O), chiameremo invariante la grandezza scalare
I = M(O)·R.
Proprietà tipica dell’invariante è che esso non dipende dal polo O. Infatti, siano dati due
punti qualunque O e O ′ , allora dalla (4.5) segue che:
M(O ′ )·R = [R×(O ′ −O)+M(O)]·R = M(O)·R.
In particolare, l’invariante rappresenta la componente del momento risultante proiettata
sull’asse avente direzione data dal vettore risultante. Questa componente risulta costante ed
è data da I/R dove R = |R|.
Asse centrale
Dato un sistema Σ di vettori applicati aventi vettore risultante R non nullo cerchiamo il luogo
geometrico dei punti O ′ rispetto ai quali il momento risultante M(O ′ ) è parallelo al vettore risultante
R. Si dimostra che questo luogo geometrico è una retta avente la stessa direzione di R.
Infatti, fissato un punto O generico introduciamo un sistema di riferimento centrato in O e con
(O;z) parallelo ed equiverso ad R = R ˆ k. In questo caso la (4.5) proiettata lungo gli assi x, y e z
prende la forma delle seguenti tre equazioni scalari
M ′ x = Mx −yR, M ′ y = My +xR, M ′ z = Mz
dove Mx,My,Mz sono le componenti di M(O), M ′ x,M ′ y,M ′ z sono le componenti di M(O ′ ) e dove
x,y,z sono le coordinate di O ′ . Scegliamo ora O ′ tale che M ′ x = M ′ y = 0, cioé
x = − My Mx
, y =
R R .
Il luogo cercato è quindi una retta parallela al vettore risultante R e passante per O ′ di coordinate
(−My/R,Mx/R,z), z ∈ R.
In particolare, il momento risultante calcolato per i punti di tale retta risulta avere
modulo minimo rispetto alla scelta del polo; infatti per i punti appartenenti a tale retta la
componente ortogonale all’asse stesso è nulla mentre, per ogni punto, la componente parallela è
costante: M ′ z = Mz. Tale grandezza è detta momento minimo e coincide con |I|/R.
Nel caso notevole in cui I = 0 e R = 0 segue che M(O ′ ) = 0 per tutti i punti appartenenti a tale
retta; cioé