Note del corso di Fisica Matematica A

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76 4 Statica In particolare, se la superficie è priva di attrito, sarà necessario e sufficiente che la forza sia diretta secondo la normale alla superficie. La reazione φ, in condizioni statiche, risulta univocamente determinata, come direttamente opposta alla forza sollecitante. Estendendo poi questo ragionamento ad una curva γ abbiamo il seguente risultato. Teorema 4.2. Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un punto materiale P costretto a restare sopra una curva γ è che il valore assoluto della componente tangenziale Ft della forza attiva non superi una certa frazione fs del valore assoluto FN della componente normale: |Ft| ≤ fsFN = fs |Fn| 2 +|Fb| 2 . Cioé che la forza non sia interna ad un certo cono rotondo che ha la tangente per asse. Il caso di un vincolo privo di attrito implica Ft = 0, cioé una sollecitazione puramente normale alla curva. 4.2 Equazioni cardinali della statica 4.2.1 Commento sui sistemi di forze Nella nostra trattazione consideriamo un qualunque sistema meccanico come costituito da un numero finito di punti discreti di massa finita (e non nulla) sui quali si pensano applicate le eventuali forze attive e vincolari. Di fatto le forze attive possono essere concentrate, rappresentate appunto da vettori Fs applicati nei punti Ps, o di massa, rappresentate da una forza specifica fm = fm(r, ˙r,t) dove r ∈ S e dove S è la porzione di spazio occupata dal sistema meccanico (ad esempio la forza peso). I vettori caratteristici (vettore risultante e momento risultante) saranno definiti come e N R = Fs + ρ(s)fmds s=1 S N Ω(O) = Fs ×(O−Ps)+ ρ(s)fm ×(O−P(s))ds. s=1 S Le reazioni vincolari sono quelle che si esplicano a seguito del mutuo contatto di due o più solidi ed hanno la loro origine fisica nelle forze di interazione tra le molecole dei solidi in prossimità delle superfici di contatto. Ricordando che queste mutueinterazioni hanno un raggio di azione molto breve allora si può concludere che queste si possono riguardare come forze di superficie; supporremo che ancheperquestesiapossibiledefinireunaforzaperunitàdisuperficiefs = fs(r, ˙r,t),continuarispetto ai suoi argomenti. Si deve osservare che queste forze sono profondamente influenzate, per la loro stessanatura,dalledeformazionichesubisconoicorpinelleregioniadiacentiallesuperficidicontatto. L’ipotesi di rigidità, non considerando queste deformazioni, rende impossibile la determinazione della funzione fs che risulterà quindi incognita (al contrario delle forze attive per le quali sono note le leggi di forza). Talvolta accade che il contatto tra due solidi, ad esempio, avvenga su superfici σ di estensione sufficientemente piccola in modo da potere confondere queste superfici con un solo loro punto (vedremo poi che, almeno per certe analisi, è necessario aggiungere alla reazione che si desta in questo punto una coppia di momento incognito). In questo caso avremo un sistema di reazioni
4.2 Equazioni cardinali della statica 77 vincolari di vettori φs applicate nei punti Or, r = 1,...,N ′ , ed i vettori caratteristici saranno dati da e N Φe = ′ φr + r=1 ∂S N Ψ(O) = ′ φr ×(O −Or)+ r=1 fsdσ fs ×(O−Ps)dσ ∂S dove gli integrali si intendono estesi alla superficie del corpo. Osserviamo che la impossibilità di assegnare le leggi di forza non rende ”a priori” arbitrari i vettori φs e il campo vettoriale fs, ad esempio è sperimentalmente noto che una superficie perfettamente levigata può esplicare soltanto le reazioni vincolari ad essa normali. Se i contatti non sono lisci e cioé sono scabri, le condizioni precedenti vanno sostituite con altre più complesse, diverse a seconda che il sistema meccanico sia in quiete o in moto. Premesso ciò nel seguito assumeremo che il sistema di forze, sia attive che vincolari, sia costituito da forze applicate su singoli punti del sistema materiale e quindi rappresentato da un insieme di vettori applicati {(Ps,Fs),s = 1,...,N} 4.2.2 Vettori applicati Definizione 4.3. Diremo vettore applicato la coppia (P,F) dove P denota un punto nello spazio e F un vettore. Risultante e momento risultante di un sistema di vettori applicati Definizione 4.4. Dato un vettore applicato (P,F) ed un punto O si chiama momento di polo O del vettore F applicato in P il vettore M(O) = (P −O)×F = F×(O−P). Definizione 4.5. Dato un sistema Σ di vettori applicati si dirà vettore risultante del sistema il vettore Σ = {(P1,F1), (P2,F2), ..., (PN,FN)} N R = Fs s=1 Scelto poi un qualunque punto O si denota momento risultante di polo O del sistema il vettore Vale la seguente proprietà: N M(O) = Fs ×(O −Ps). s=1
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Fisica Matematica A 1 Marzo, 2013
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