Note del corso di Fisica Matematica A
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76 4 Statica<br />
In particolare, se la superficie è priva <strong>di</strong> attrito, sarà necessario e sufficiente che la forza sia<br />
<strong>di</strong>retta secondo la normale alla superficie. La reazione φ, in con<strong>di</strong>zioni statiche, risulta univocamente<br />
determinata, come <strong>di</strong>rettamente opposta alla forza sollecitante. Estendendo poi questo<br />
ragionamento ad una curva γ abbiamo il seguente risultato.<br />
Teorema 4.2. Con<strong>di</strong>zione necessaria e sufficiente per l’equilibrio <strong>di</strong> un punto materiale P costretto<br />
a restare sopra una curva γ è che il valore assoluto <strong>del</strong>la componente tangenziale Ft <strong>del</strong>la forza attiva<br />
non superi una certa frazione fs <strong>del</strong> valore assoluto FN <strong>del</strong>la componente normale:<br />
<br />
|Ft| ≤ fsFN = fs |Fn| 2 +|Fb| 2 .<br />
Cioé che la forza non sia interna ad un certo cono rotondo che ha la tangente per asse. Il caso <strong>di</strong><br />
un vincolo privo <strong>di</strong> attrito implica Ft = 0, cioé una sollecitazione puramente normale alla curva.<br />
4.2 Equazioni car<strong>di</strong>nali <strong>del</strong>la statica<br />
4.2.1 Commento sui sistemi <strong>di</strong> forze<br />
Nella nostra trattazione consideriamo un qualunque sistema meccanico come costituito da un numero<br />
finito <strong>di</strong> punti <strong>di</strong>screti <strong>di</strong> massa finita (e non nulla) sui quali si pensano applicate le eventuali forze<br />
attive e vincolari.<br />
Di fatto le forze attive possono essere concentrate, rappresentate appunto da vettori Fs applicati<br />
nei punti Ps, o <strong>di</strong> massa, rappresentate da una forza specifica fm = fm(r, ˙r,t) dove r ∈ S e dove<br />
S è la porzione <strong>di</strong> spazio occupata dal sistema meccanico (ad esempio la forza peso). I vettori<br />
caratteristici (vettore risultante e momento risultante) saranno definiti come<br />
e<br />
N<br />
<br />
R = Fs + ρ(s)fmds<br />
s=1<br />
S<br />
N<br />
<br />
Ω(O) = Fs ×(O−Ps)+ ρ(s)fm ×(O−P(s))ds.<br />
s=1<br />
S<br />
Le reazioni vincolari sono quelle che si esplicano a seguito <strong>del</strong> mutuo contatto <strong>di</strong> due o più soli<strong>di</strong><br />
ed hanno la loro origine fisica nelle forze <strong>di</strong> interazione tra le molecole dei soli<strong>di</strong> in prossimità <strong>del</strong>le<br />
superfici <strong>di</strong> contatto. Ricordando che queste mutueinterazioni hanno un raggio <strong>di</strong> azione molto breve<br />
allora si può concludere che queste si possono riguardare come forze <strong>di</strong> superficie; supporremo che<br />
ancheperquestesiapossibiledefinireunaforzaperunità<strong>di</strong>superficiefs = fs(r, ˙r,t),continuarispetto<br />
ai suoi argomenti. Si deve osservare che queste forze sono profondamente influenzate, per la loro<br />
stessanatura,dalledeformazionichesubisconoicorpinelleregionia<strong>di</strong>acentiallesuperfici<strong>di</strong>contatto.<br />
L’ipotesi <strong>di</strong> rigi<strong>di</strong>tà, non considerando queste deformazioni, rende impossibile la determinazione <strong>del</strong>la<br />
funzione fs che risulterà quin<strong>di</strong> incognita (al contrario <strong>del</strong>le forze attive per le quali sono note le leggi<br />
<strong>di</strong> forza). Talvolta accade che il contatto tra due soli<strong>di</strong>, ad esempio, avvenga su superfici σ <strong>di</strong><br />
estensione sufficientemente piccola in modo da potere confondere queste superfici con un solo loro<br />
punto (vedremo poi che, almeno per certe analisi, è necessario aggiungere alla reazione che si desta<br />
in questo punto una coppia <strong>di</strong> momento incognito). In questo caso avremo un sistema <strong>di</strong> reazioni