Note del corso di Fisica Matematica A

76 4 Statica
In particolare, se la superficie è priva di attrito, sarà necessario e sufficiente che la forza sia
diretta secondo la normale alla superficie. La reazione φ, in condizioni statiche, risulta univocamente
determinata, come direttamente opposta alla forza sollecitante. Estendendo poi questo
ragionamento ad una curva γ abbiamo il seguente risultato.
Teorema 4.2. Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un punto materiale P costretto
a restare sopra una curva γ è che il valore assoluto della componente tangenziale Ft della forza attiva
non superi una certa frazione fs del valore assoluto FN della componente normale:
|Ft| ≤ fsFN = fs |Fn| 2 +|Fb| 2 .
Cioé che la forza non sia interna ad un certo cono rotondo che ha la tangente per asse. Il caso di
un vincolo privo di attrito implica Ft = 0, cioé una sollecitazione puramente normale alla curva.
4.2 Equazioni cardinali della statica
4.2.1 Commento sui sistemi di forze
Nella nostra trattazione consideriamo un qualunque sistema meccanico come costituito da un numero
finito di punti discreti di massa finita (e non nulla) sui quali si pensano applicate le eventuali forze
attive e vincolari.
Di fatto le forze attive possono essere concentrate, rappresentate appunto da vettori Fs applicati
nei punti Ps, o di massa, rappresentate da una forza specifica fm = fm(r, ˙r,t) dove r ∈ S e dove
S è la porzione di spazio occupata dal sistema meccanico (ad esempio la forza peso). I vettori
caratteristici (vettore risultante e momento risultante) saranno definiti come
e
N
R = Fs + ρ(s)fmds
s=1
S
N
Ω(O) = Fs ×(O−Ps)+ ρ(s)fm ×(O−P(s))ds.
s=1
S
Le reazioni vincolari sono quelle che si esplicano a seguito del mutuo contatto di due o più solidi
ed hanno la loro origine fisica nelle forze di interazione tra le molecole dei solidi in prossimità delle
superfici di contatto. Ricordando che queste mutueinterazioni hanno un raggio di azione molto breve
allora si può concludere che queste si possono riguardare come forze di superficie; supporremo che
ancheperquestesiapossibiledefinireunaforzaperunitàdisuperficiefs = fs(r, ˙r,t),continuarispetto
ai suoi argomenti. Si deve osservare che queste forze sono profondamente influenzate, per la loro
stessanatura,dalledeformazionichesubisconoicorpinelleregioniadiacentiallesuperficidicontatto.
L’ipotesi di rigidità, non considerando queste deformazioni, rende impossibile la determinazione della
funzione fs che risulterà quindi incognita (al contrario delle forze attive per le quali sono note le leggi
di forza). Talvolta accade che il contatto tra due solidi, ad esempio, avvenga su superfici σ di
estensione sufficientemente piccola in modo da potere confondere queste superfici con un solo loro
punto (vedremo poi che, almeno per certe analisi, è necessario aggiungere alla reazione che si desta
in questo punto una coppia di momento incognito). In questo caso avremo un sistema di reazioni