Note del corso di Fisica Matematica A

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74 4 Statica Punto appoggiato ad un piano qualsiasi (non necessariamente orizzontale) Sia il punto P appoggiato ad una parete piana e sia soggetto alla sollecitazione di certe forze attive di cui sia F la risultante (incluso il peso se P è un punto materiale pesante); indichiamo con ˆ N la normale interna in P alla parete, cioé la perpendicolare al piano orientata nel verso in cui al punto è vietato il moto dal vincolo. Segue quindi come condizione necessaria per l’equilibrio in P la relazione F· ˆ N = FN ≥ 0. (4.2) Denotiamo con Ft = F − FN ˆ N la componente della forza F secondo il piano; indicando con fs il coefficiente di attrito del punto P rispetto alla parete, la condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio è data, sotto l’ipotesi (4.2), dalla relazione |Ft| ≤ fsFN. (4.3) È ovvio che sotto la condizione FN < 0 il vincolo, per la sua natura unilaterale, non è atto a limitare in alcun modo la libertà del punto (quindi si comporta come un punto materiale libero soggetto alla forza F). Punto appoggiato ad una superficie σ qualsiasi Sefs èilcoefficientediattritodiP sullasuperficieσ edFN eFt sonorispettivamenteleintensitàdelle componenti di F secondo la normale interna e il piano tangente, le condizioni necessarie e sufficienti per l’equilibrio sono date dalle (4.2) e (4.3). La (4.3) si può scrivere come |Ft| FN = tgα ≤ fs, dove α è l’angolo formato dal vettore F e la normale alla superficie. Se indichiamo con φ l’angolo la cui tangente è f allora la (4.3) diventa α ≤ φ. Chiamando angolo di attrito questo angolo φ e falda interna del cono di attrito il luogo delle semirette uscenti da P che formano l’angolo φ con la normale interna, concludiamo che per l’ equilibrio di un punto materiale appoggiato ad una superficie è necessario e sufficiente che la forza attiva totale non sia esterna alla falda interna del cono di attrito. Commento sull’attrito: sapendo che la condizione di equilibrio del punto deve essere F+φ = 0 e chiamando falda esterna del cono di attrito la falda opposta al vertice della falda interna, possiamo affermare che: la reazione φ, che una superficie materiale σ esplica su di un punto materiale P in contatto con essa, dipende dalla sollecitazione totale attiva F di P. In condizioni statiche, la φ è sempre rivolta verso l’esterno ed è non esterna alla falda esterna del cono di attrito. La componente tangenziale della reazione φ, in condizioni statiche, si dice attrito radente o statico. A differenza di quanto considerato, secondo alcuni autori l’attritovieneconsideratocomeunaforzaattiva(peròincognita!);questainterpretazioneègiustificata dall’osservazione che l’attrito interviene sul punto come una azione in grado di modificarne il moto ed ha quindi tutte le caratteristiche di una forza resistente; mentre non può essere interpretato come una reazione vincolare poiché non limita a priori in alcun modo gli spostamenti e le velocità del punto.
φ . φ σ 4.1 Statica del punto e attrito 75 Fig. 4.1. Nel caso in cui la reazione vincolare φ 1 cade internamente al cono di attrito si ha equilibrio. Non si ha invece equilibrio quando la reazione vincolare φ 2 cade esternamente al cono di attrito. Il versore ˆ N denota la normale alla superficie σ in P Superficie priva di attrito Quando fs = 0, si dice che l’appoggio o il contatto sono realizzati senza attrito, o anche che la superficie σ è priva d’attrito. Il cono di attrito si riduce alla normale e la (4.3) si riduce alla sola condizione Ft = 0. (4.4) Si esige dunque, per l’equilibrio, che la forza attiva F sia puramente normale; nel caso di un vincolo unilaterale di appoggio è poi necessario, in virtù della (4.2), che questa sollecitazione normale sia rivolta verso l’interno del corpo che realizza l’appoggio o il contatto con P. Nel caso ideale di una superficie priva di attrito, la componente tangenziale della reazione è nulla o, in altre parole, la reazione si esplica tutta secondo la normale esterna. Osserviamo che: nelle questioni statiche, prescindendo dall’attrito, si agisce in favore della sicurezza. Cioé se le forze esterne attive rimangono equilibrate da reazioni normali allora lo sono anche da forze appartenenti alle falde dei coni d’attrito (qualunque siano questi coni). Occorre rilevare che possono darsi casi di equilibrio, non soltanto favoriti, ma traenti addirittura dall’attrito la possibilità di sussistere. 4.1.2 Punto vincolato a muoversi su di una superficie o su una curva. Consideriamo un punto materiale P costretto a muoversi su una data superficie σ (vincolo bilaterale), realizzato immaginando che il punto sia costretto a muoversi su due superfici uguali vicinissime l’una all’altra. Ragionando come nel caso di un punto appoggiato ad una superficie chiamiamo cono di attrito l’insieme delle due falde di cono relative ai due vincoli unilaterali costituenti il vincolo bilaterale. Avremo che: Teorema 4.1. Condizione necessaria e sufficiente affinché un punto materiale, vincolato a muoversi su di una superficie, resti in equilibrio sotto la sollecitazione di una forza è che questa non sia esterna al cono di attrito.
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