Note del corso di Fisica Matematica A

2 1 Calcolo Vettoriale
Definizione 1.1. Uno spazio vettoriale su R è un insieme non vuoto V in cui sono definite due
operazioni, l’addizione e la moltiplicazione per un numero reale, tali che:
i. l’addizione è associativa e commutativa;
ii. esiste un elemento neutro 0 ∈ V per l’operazione di addizione, cioé tale che u+0 = 0+u = u
per ogni u ∈ V;
iii.per ogni u ∈ V esiste l’elemento opposto v ∈ V tale che u+v = 0;
iv.esiste un elemento neutro 1 ∈ R per l’operazione di moltiplicazione, cioé tale che u1 = 1u = u
per ogni u ∈ V;
v. sussiste la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma:
λ(u+v) = λu+λv, ∀u,v ∈ V, ∀λ ∈ R.
L’insieme V può essere strutturato come spazio vettoriale sui reali introducendo in modo naturale
la usuale somma tra segmenti e il prodotto esterno come segue. Dati due vettori u = B − A e
v = C − B rappresentati da due segmenti avente il secondo estremo del primo vettore coincidente
con il primo estremo del secondo vettore; si definisce somma tra i due vettori il vettore u + v =
(B−A)+(C−B) = C−A. Dato un vettore u ed un numero reale λ si definisce il prodotto esterno
il vettore λu avente la stessa direzione di u, verso concorde con il verso di u se λ > 0 altrimenti
verso opposto, e modulo uguale al numero reale positivo |λ|u. Il vettore nullo coincide con il vettore
neutro.
1.1.2 Rappresentazione cartesiana dei vettori
v x
i
v z
k
Fig. 1.3. Datounsistemadicoordinatecartesiani
ortogonali (O;x,y,z), associato ai versori î,ˆj e ˆ k,
ogni vettore v si puó esprimere attraverso le sue
componenti vx, vy e vz.
1.1.3 Prodotto scalare
j
v y
Considerato un sistema di coordinate cartesiani ortogonali
(O;x,y,z), tali da costituire una terna destra, introduciamo
i versori î, ˆj e ˆ k (talvolta anche denotati i, j e
k) aventi verso e direzione concordi con gli assi coordinati.
I versori fondamentali costituiscono una base ortonormale
dello spazio vettoriale V e ad ogni vettore v corrisponde in
modo univoco una terna di numeri reali vx, vy, vz, dette
componenti del vettore, tali che v = vxî+vyˆj+vz ˆ k. È
immediato osservare che due vettori coincidono se, e solo
se, coincidono le componenti. Inoltre la somma tra vettori
ed il prodotto esterno può essere calcolato attraverso le loro
componenti:
u+v = (uxî+uyˆj+uz ˆ k)+(vxî+vyˆj+vz ˆ k)
= (ux +vx)î+(uy +vy)ˆj+(uz +vz) ˆ k
λv = λ(vxî+vyˆj+vz ˆ k) = (λvx)î+(λvy)ˆj+(λvz) ˆ k
Definizione 1.2. Dati due vettori u e v si definisce prodotto scalare tra i due vettori la grandezza
scalare
dove α è l’angolo formato dai due vettori.
u·v = uvcos(α)