Note del corso di Fisica Matematica A
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70 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche<br />
Esercizio 3.4: Calcolare il baricentro <strong>di</strong> un settore omogeneo <strong>di</strong> corona circolare corrispondente<br />
ad un angolo al centro α e <strong>di</strong> raggi r1 < r2.<br />
Esercizio 3.5: Calcolare le coor<strong>di</strong>nate <strong>del</strong> baricentro <strong>di</strong> un <strong>di</strong>sco omogeneo (<strong>di</strong> densità µ nota) <strong>di</strong><br />
raggio r2 e centro O a cui è stato tolto un <strong>di</strong>sco <strong>di</strong> raggio r1 < 1<br />
2r2 avente centro C <strong>di</strong>stante 1<br />
2r2 da<br />
O.<br />
Esercizio 3.6: Calcolare il baricentro <strong>di</strong> una zona <strong>di</strong> superficie sferica omogenea essendo noti il<br />
raggio r <strong>del</strong>la sfera e le quote z1 < z2 <strong>del</strong>la zona sferica.<br />
Esercizio 3.7: Calcolare il baricentro <strong>di</strong> una semisfera omogenea <strong>di</strong> raggio R.<br />
Esercizio 3.8: Calcolare il baricentro <strong>di</strong> una asta rigida AB <strong>di</strong> lunghezza ℓ non omogenea e <strong>di</strong><br />
densità µ(P) = m<br />
ℓ2(|AP|+ℓ). Esercizio 3.9: Calcolare il baricentro <strong>di</strong> una colonna cilindrica d’aria <strong>di</strong> altezza h e raggio R<br />
sapendo che la densità <strong>del</strong>l’aria <strong>di</strong>pende dall’altezza z secondo la legge µ(z) = µ0e−Kz , µ0 e K<br />
costanti.<br />
Esercizio 3.10: Calcolare il momento <strong>di</strong> inerzia I <strong>di</strong> un’asta AB omogenea, <strong>di</strong> massa m e<br />
lunghezza ℓ, rispetto a:<br />
i. una retta r passante per il baricentro <strong>del</strong>l’asta e inclinata <strong>di</strong> un angolo α rispetto all’asta, determinare,<br />
in particolare, il momento per α = π/2;<br />
ii. una retta r ′ passante per un estremo <strong>del</strong>l’asta e inclinata <strong>di</strong> un angolo α rispetto all’asta facendo<br />
uso <strong>del</strong> risultato trovato in i) e <strong>del</strong> Teorema <strong>di</strong> Huyghens, determinare, in particolare, il momento<br />
per α = π/2.<br />
Esercizio 3.11: sia dato il sistema <strong>di</strong> riferimento (O;x,y,z) e sia data una lamina rettangolare<br />
ABCD, rigida, omogenea, <strong>di</strong> massa m e con lunghezze dei lati a e b. I vertici <strong>di</strong> tale lamina hanno<br />
coor<strong>di</strong>nate A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,b,0) e D(0,b,0). Si domanda:<br />
i. determinare i momenti d’inerzia ed i momenti <strong>di</strong> deviazione rispetto agli assi coor<strong>di</strong>nati;<br />
ii. facendo uso <strong>del</strong>l’equazione <strong>del</strong>l’ellissoide <strong>di</strong> inerzia, determinare il momento d’inerzia Ir per la<br />
lamina rispetto alla retta r congiungente i vertici A e C;<br />
iii.facendo uso <strong>del</strong>l’equazione <strong>del</strong>l’ellissoide <strong>di</strong> inerzia, determinare il momento d’inerzia Ir ′ per la<br />
lamina rispetto alla retta r ′ bisettrice <strong>del</strong> primo quadrante;<br />
iv.facendo uso <strong>del</strong> risultato trovato in iii. e <strong>del</strong> Teorema <strong>di</strong> Huyghens trovare il momento d’inerzia Ir ′′<br />
per la lamina rispetto alla retta r ′′ passante per il baricentro <strong>del</strong>la lamina e parallela alla bisettrice<br />
<strong>del</strong> primo quadrante;<br />
v. determinare gli assi principali <strong>di</strong> inerzia ed i momenti principali <strong>di</strong> inerzia sia calcolando gli<br />
autovalori e autovettori <strong>del</strong>la matrice d’inerzia, sia attraverso una rotazione <strong>del</strong> piano (O;x,y) in<br />
sè stesso.<br />
Esercizio 3.12: sia dato il sistema <strong>di</strong> riferimento (O;x,y,z) e sia data una lamina triangolare<br />
ABC, rigida, omogenea, <strong>di</strong> massa m e con lunghezze dei cateti a e b. I vertici <strong>di</strong> tale lamina hanno<br />
coor<strong>di</strong>nate A(0,0,0), B(a,0,0) e C(0,b,0). Si domanda:<br />
i. determinare i momenti d’inerzia ed i momenti <strong>di</strong> deviazione rispetto agli assi coor<strong>di</strong>nati;<br />
ii. determinare gli assi principali <strong>di</strong> inerzia ed i momenti principali <strong>di</strong> inerzia sia calcolando gli<br />
autovalori e autovettori <strong>del</strong>la matrice d’inerzia, sia attraverso una rotazione <strong>del</strong> piano (O;x,y) in<br />
sè stesso.