Note del corso di Fisica Matematica A

70 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
Esercizio 3.4: Calcolare il baricentro di un settore omogeneo di corona circolare corrispondente
ad un angolo al centro α e di raggi r1 < r2.
Esercizio 3.5: Calcolare le coordinate del baricentro di un disco omogeneo (di densità µ nota) di
raggio r2 e centro O a cui è stato tolto un disco di raggio r1 < 1
2r2 avente centro C distante 1
2r2 da
O.
Esercizio 3.6: Calcolare il baricentro di una zona di superficie sferica omogenea essendo noti il
raggio r della sfera e le quote z1 < z2 della zona sferica.
Esercizio 3.7: Calcolare il baricentro di una semisfera omogenea di raggio R.
Esercizio 3.8: Calcolare il baricentro di una asta rigida AB di lunghezza ℓ non omogenea e di
densità µ(P) = m
ℓ2(|AP|+ℓ). Esercizio 3.9: Calcolare il baricentro di una colonna cilindrica d’aria di altezza h e raggio R
sapendo che la densità dell’aria dipende dall’altezza z secondo la legge µ(z) = µ0e−Kz , µ0 e K
costanti.
Esercizio 3.10: Calcolare il momento di inerzia I di un’asta AB omogenea, di massa m e
lunghezza ℓ, rispetto a:
i. una retta r passante per il baricentro dell’asta e inclinata di un angolo α rispetto all’asta, determinare,
in particolare, il momento per α = π/2;
ii. una retta r ′ passante per un estremo dell’asta e inclinata di un angolo α rispetto all’asta facendo
uso del risultato trovato in i) e del Teorema di Huyghens, determinare, in particolare, il momento
per α = π/2.
Esercizio 3.11: sia dato il sistema di riferimento (O;x,y,z) e sia data una lamina rettangolare
ABCD, rigida, omogenea, di massa m e con lunghezze dei lati a e b. I vertici di tale lamina hanno
coordinate A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,b,0) e D(0,b,0). Si domanda:
i. determinare i momenti d’inerzia ed i momenti di deviazione rispetto agli assi coordinati;
ii. facendo uso dell’equazione dell’ellissoide di inerzia, determinare il momento d’inerzia Ir per la
lamina rispetto alla retta r congiungente i vertici A e C;
iii.facendo uso dell’equazione dell’ellissoide di inerzia, determinare il momento d’inerzia Ir ′ per la
lamina rispetto alla retta r ′ bisettrice del primo quadrante;
iv.facendo uso del risultato trovato in iii. e del Teorema di Huyghens trovare il momento d’inerzia Ir ′′
per la lamina rispetto alla retta r ′′ passante per il baricentro della lamina e parallela alla bisettrice
del primo quadrante;
v. determinare gli assi principali di inerzia ed i momenti principali di inerzia sia calcolando gli
autovalori e autovettori della matrice d’inerzia, sia attraverso una rotazione del piano (O;x,y) in
sè stesso.
Esercizio 3.12: sia dato il sistema di riferimento (O;x,y,z) e sia data una lamina triangolare
ABC, rigida, omogenea, di massa m e con lunghezze dei cateti a e b. I vertici di tale lamina hanno
coordinate A(0,0,0), B(a,0,0) e C(0,b,0). Si domanda:
i. determinare i momenti d’inerzia ed i momenti di deviazione rispetto agli assi coordinati;
ii. determinare gli assi principali di inerzia ed i momenti principali di inerzia sia calcolando gli
autovalori e autovettori della matrice d’inerzia, sia attraverso una rotazione del piano (O;x,y) in
sè stesso.