Note del corso di Fisica Matematica A

3.2 Geometria delle masse 69
i. se I11 = I22 allora deve essere cos2ϕ = 0, ϕ = ±π/2 e gli assi principali d’inerzia coincidono con
le bisettrici del piano (O;x,y);
ii. se I11 = I22 allora deve essere tan2ϕ = 2 I12 ed i due valori che soddisfano questa equazione
I11−I22
danno i due assi principali d’inerzia.
3.2.7 Ellissoide centrale di inerzia
Definizione 3.18. L’ellissoide di inerzia avente come centro il baricentro G del sistema si dice ellissoide
centrale di inerzia.
Si ha che:
Teorema 3.19. Ogni asse principale di inerzia dell’ellissoide centrale di inerzia è asse principale
di inerzia anche rispetto ad ogni altro suo punto.
Infatti sia, per l’ipotesi, l’asse (G;z) principale di inerzia:
B ′ =
msxszs = 0 e C ′ =
msyszs = 0.
s
Prendendo ora un altro punto O sull’asse (G;z), distante d dal baricentro, come centro dell’ellissoide
di inerzia (lasciando gli assi inalterati) e calcolando i prodotti d’inerzia rispetto a questo nuovo
sistema di riferimento abbiamo che
B ′ N
N N
1 = msys(zs −d) = msyszs −d msys = B
s=1
s=1 s=1
′ −mdyG = 0
dove sono nulli sia B ′ che la coordinata yG del baricentro in quanto questo appartiene all’asse z.
Analogamente si prova che C ′ 1 = 0.
Viceversa:
Corollario: Se una retta è asse principale d’inerzia rispetto ad un suo punto, e passa per il
baricentro, allora è asse principale di inerzia rispetto al baricentro (e quindi rispetto ad ogni
altro suo punto).
Si noti che, assegnati (oltre alla massa totale) gli assi e i momenti principali relativi al baricentro,
allora si riesce a caratterizzare in modo completo la distribuzione dei momenti di inerzia di un dato
sistema.
3.2.8 Esercizi
Esercizio 3.1: Calcolare il baricentro del sistema costituito da un’asta OP omogenea lunga 2ℓ e
massa 2m avente nell’estremo P una pallina di massa m e collegata ad angolo retto in O con l’asta
OA omogenea lunga 4ℓ e massa 5m.
Esercizio 3.2: Calcolare le coordinate del baricentro di un arco omogeneo di raggio R e massa
m corrispondente ad un angolo al centro di ampiezza α.
Esercizio 3.3: Calcolare il baricentro di un settore circolare omogeneo di raggio R e con angolo
al centro α.
s