Note del corso di Fisica Matematica A
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68 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche<br />
dove<br />
e<br />
I11 = A, I22 = B, I33 = C<br />
I12 = I21 = −A ′ , I13 = I31 = −B ′ , I23 = I32 = −C ′ .<br />
Quin<strong>di</strong> si ha che l’equazione <strong>del</strong>l’ellissoide <strong>di</strong> inerzia può essere anche scritta come<br />
⎛ ⎞<br />
x<br />
⎜ ⎟<br />
(x,y,z)I ⎝y<br />
⎠ = 1 o, in modo più, sintetico v<br />
z<br />
T ⎛ ⎞<br />
x<br />
⎜ ⎟<br />
Iv = 1, v = ⎝y<br />
⎠.<br />
z<br />
Usando le notazioni introdotte nel primo capitolo si ha che, assegnata la base (O;x,y,z) gli<br />
elementi <strong>del</strong>la matrice d’inerzia sono Iij e cambiando il sistema <strong>di</strong> riferimento me<strong>di</strong>ante una matrice<br />
ortogonale A allora la nuova matrice d’inerzia assume la forma<br />
I ′ = AIA T .<br />
Gli assi principali d’inerzia sono gli autospazi <strong>del</strong>la matrice d’inerzia ed i corrispondenti momenti<br />
<strong>di</strong> inerzia ne sono gli autovalori λ1, λ2 e λ3 (supposti <strong>di</strong>stinti). La ricerca <strong>del</strong>le terne principali <strong>di</strong><br />
inerzia equivale alla <strong>di</strong>agonalizzazione <strong>del</strong>la matrice d’inerzia. Nel riferimento principale la matrice<br />
d’inerzia ha infatti rappresentazione<br />
⎛ ⎞<br />
λ1 0 0<br />
⎜ ⎟<br />
I = ⎝0<br />
λ2 0 ⎠<br />
0 0 λ3<br />
Determinazione <strong>di</strong> due assi principali d’inerzia noto il terzo<br />
Scegliamo un sistema <strong>di</strong> riferimento (O;x,y,z) dove O è il centro <strong>del</strong>l’ellissoide e (O;z) coincide con<br />
l’asse principale d’inerzia noto. La corrispondente matrice d’inerzia ha quin<strong>di</strong> la forma<br />
⎛ ⎞<br />
I11 I12 0<br />
⎜ ⎟<br />
I = ⎝I21<br />
I22 0 ⎠<br />
0 0 λ3<br />
dove assumiamo I12 = 0 (poiché altrimenti il problema è già risolto). Effettuiamo una rotazione<br />
<strong>del</strong> piano (O;x,y) su sè stesso in modo da lasciare l’asse (O;z) invariato; la matrice ortogonale che<br />
definisce questa rotazione è data da<br />
⎛ ⎞<br />
cosϕ sinϕ 0<br />
⎜ ⎟<br />
A = ⎝−sinϕ<br />
cosϕ 0⎠<br />
0 0 1<br />
dove ϕ denota l’angolo x ′ Ox. Rispetto al nuovo sistema <strong>di</strong> riferimento la matrice d’inerzia assume<br />
la forma<br />
⎛ ⎞<br />
I ′ = AIA T I<br />
⎜<br />
= ⎝<br />
′ 11 I ′ 12 0<br />
I ′ 21 I ′ 22 0<br />
⎟<br />
⎠ dove I<br />
0 0 λ3<br />
′ 12 = I22 −I11<br />
sin2ϕ+I12cos2ϕ.<br />
2<br />
Gli assi principali d’inerzia hanno <strong>di</strong>rezione tale che I ′ 12(ϕ) = 0, cioé: