Note del corso di Fisica Matematica A

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68 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche dove e I11 = A, I22 = B, I33 = C I12 = I21 = −A ′ , I13 = I31 = −B ′ , I23 = I32 = −C ′ . Quindi si ha che l’equazione dell’ellissoide di inerzia può essere anche scritta come ⎛ ⎞ x ⎜ ⎟ (x,y,z)I ⎝y ⎠ = 1 o, in modo più, sintetico v z T ⎛ ⎞ x ⎜ ⎟ Iv = 1, v = ⎝y ⎠. z Usando le notazioni introdotte nel primo capitolo si ha che, assegnata la base (O;x,y,z) gli elementi della matrice d’inerzia sono Iij e cambiando il sistema di riferimento mediante una matrice ortogonale A allora la nuova matrice d’inerzia assume la forma I ′ = AIA T . Gli assi principali d’inerzia sono gli autospazi della matrice d’inerzia ed i corrispondenti momenti di inerzia ne sono gli autovalori λ1, λ2 e λ3 (supposti distinti). La ricerca delle terne principali di inerzia equivale alla diagonalizzazione della matrice d’inerzia. Nel riferimento principale la matrice d’inerzia ha infatti rappresentazione ⎛ ⎞ λ1 0 0 ⎜ ⎟ I = ⎝0 λ2 0 ⎠ 0 0 λ3 Determinazione di due assi principali d’inerzia noto il terzo Scegliamo un sistema di riferimento (O;x,y,z) dove O è il centro dell’ellissoide e (O;z) coincide con l’asse principale d’inerzia noto. La corrispondente matrice d’inerzia ha quindi la forma ⎛ ⎞ I11 I12 0 ⎜ ⎟ I = ⎝I21 I22 0 ⎠ 0 0 λ3 dove assumiamo I12 = 0 (poiché altrimenti il problema è già risolto). Effettuiamo una rotazione del piano (O;x,y) su sè stesso in modo da lasciare l’asse (O;z) invariato; la matrice ortogonale che definisce questa rotazione è data da ⎛ ⎞ cosϕ sinϕ 0 ⎜ ⎟ A = ⎝−sinϕ cosϕ 0⎠ 0 0 1 dove ϕ denota l’angolo x ′ Ox. Rispetto al nuovo sistema di riferimento la matrice d’inerzia assume la forma ⎛ ⎞ I ′ = AIA T I ⎜ = ⎝ ′ 11 I ′ 12 0 I ′ 21 I ′ 22 0 ⎟ ⎠ dove I 0 0 λ3 ′ 12 = I22 −I11 sin2ϕ+I12cos2ϕ. 2 Gli assi principali d’inerzia hanno direzione tale che I ′ 12(ϕ) = 0, cioé:
3.2 Geometria delle masse 69 i. se I11 = I22 allora deve essere cos2ϕ = 0, ϕ = ±π/2 e gli assi principali d’inerzia coincidono con le bisettrici del piano (O;x,y); ii. se I11 = I22 allora deve essere tan2ϕ = 2 I12 ed i due valori che soddisfano questa equazione I11−I22 danno i due assi principali d’inerzia. 3.2.7 Ellissoide centrale di inerzia Definizione 3.18. L’ellissoide di inerzia avente come centro il baricentro G del sistema si dice ellissoide centrale di inerzia. Si ha che: Teorema 3.19. Ogni asse principale di inerzia dell’ellissoide centrale di inerzia è asse principale di inerzia anche rispetto ad ogni altro suo punto. Infatti sia, per l’ipotesi, l’asse (G;z) principale di inerzia: B ′ = msxszs = 0 e C ′ = msyszs = 0. s Prendendo ora un altro punto O sull’asse (G;z), distante d dal baricentro, come centro dell’ellissoide di inerzia (lasciando gli assi inalterati) e calcolando i prodotti d’inerzia rispetto a questo nuovo sistema di riferimento abbiamo che B ′ N N N 1 = msys(zs −d) = msyszs −d msys = B s=1 s=1 s=1 ′ −mdyG = 0 dove sono nulli sia B ′ che la coordinata yG del baricentro in quanto questo appartiene all’asse z. Analogamente si prova che C ′ 1 = 0. Viceversa: Corollario: Se una retta è asse principale d’inerzia rispetto ad un suo punto, e passa per il baricentro, allora è asse principale di inerzia rispetto al baricentro (e quindi rispetto ad ogni altro suo punto). Si noti che, assegnati (oltre alla massa totale) gli assi e i momenti principali relativi al baricentro, allora si riesce a caratterizzare in modo completo la distribuzione dei momenti di inerzia di un dato sistema. 3.2.8 Esercizi Esercizio 3.1: Calcolare il baricentro del sistema costituito da un’asta OP omogenea lunga 2ℓ e massa 2m avente nell’estremo P una pallina di massa m e collegata ad angolo retto in O con l’asta OA omogenea lunga 4ℓ e massa 5m. Esercizio 3.2: Calcolare le coordinate del baricentro di un arco omogeneo di raggio R e massa m corrispondente ad un angolo al centro di ampiezza α. Esercizio 3.3: Calcolare il baricentro di un settore circolare omogeneo di raggio R e con angolo al centro α. s
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Fisica Matematica A 1 Marzo, 2013
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