Note del corso di Fisica Matematica A
Note del corso di Fisica Matematica A
Note del corso di Fisica Matematica A
You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
3.2 Geometria <strong>del</strong>le masse 67<br />
Fig. 3.5. Matrice d’inerzia per una lamina rettangolare omogenea (figura a sinistra) e per un <strong>di</strong>sco pieno omogeneo (figura a<br />
destra).<br />
(O;x) e (O;y) siano paralleli ai lati <strong>del</strong> rettangolo in modo che lamina sia tutta nel primo quadrante.<br />
Siano i lati <strong>di</strong> lunghezza a e b. Essendo µ = m/ab si ha che:<br />
<br />
A = µy<br />
lamina<br />
2 dxdy = m<br />
a b<br />
dx y<br />
ab 0 0<br />
2 dy = 1<br />
3 mb2 .<br />
Analogamente segue che B = 1<br />
3ma2 e quin<strong>di</strong> C = A + B = 1<br />
momento <strong>di</strong> deviazione abbiamo che B ′ = C ′ = 0 e che<br />
<br />
a<br />
Disco piano omogeneo<br />
A ′ =<br />
lamina<br />
µxydxdy = m<br />
ab<br />
0<br />
<br />
3 m(a2 + b 2 ). Per ciò che riguarda il<br />
b<br />
xdx ydy =<br />
0<br />
1<br />
4 mab.<br />
Calcoliamo l’equazione <strong>del</strong>l’ellissoide d’inerzia <strong>di</strong> centro O, dove O coincide con il centro <strong>del</strong> <strong>di</strong>sco.<br />
Sia (O;x,y,z) scelto in modo che il <strong>di</strong>sco sia contenuto nel piano (O;x,y). L’asse z è un asse<br />
principale d’inerzia e inoltre, poiché ogni asse passante per il centro e appartenente al piano (O;x,y)<br />
è<strong>di</strong>simmetria,seguecheanchegliassixey sonoprincipali<strong>di</strong>inerzia;infinesiosservicheruotando<strong>di</strong><br />
π/2il<strong>di</strong>scoilsistemamaterialesipresentainvariatoalloraseguecheA = B echequin<strong>di</strong>A = B = 1<br />
2C. Rimane dunque da calcolare solo C, sia R il raggio <strong>del</strong> <strong>di</strong>sco e µ = m/πR2 , si ha che:<br />
<br />
C = µ(x<br />
<strong>di</strong>sco<br />
2 +y 2 )dxdy = m<br />
πR2 2π R<br />
dθ r<br />
0 0<br />
2 rdr = 1<br />
2 mR2 .<br />
3.2.6 Matrice d’inerzia<br />
Matrice d’inerzia<br />
Fissata una terna (O;x,y,z) si definisce la matrice d’inerzia<br />
⎛ ⎞<br />
⎜<br />
I = ⎝<br />
I11 I12 I13<br />
⎟<br />
I21 I22 I23⎠<br />
I31 I32 I33