Note del corso di Fisica Matematica A

3.2 Geometria delle masse 67
Fig. 3.5. Matrice d’inerzia per una lamina rettangolare omogenea (figura a sinistra) e per un disco pieno omogeneo (figura a
destra).
(O;x) e (O;y) siano paralleli ai lati del rettangolo in modo che lamina sia tutta nel primo quadrante.
Siano i lati di lunghezza a e b. Essendo µ = m/ab si ha che:
A = µy
lamina
2 dxdy = m
a b
dx y
ab 0 0
2 dy = 1
3 mb2 .
Analogamente segue che B = 1
3ma2 e quindi C = A + B = 1
momento di deviazione abbiamo che B ′ = C ′ = 0 e che
a
Disco piano omogeneo
A ′ =
lamina
µxydxdy = m
ab
0
3 m(a2 + b 2 ). Per ciò che riguarda il
b
xdx ydy =
0
1
4 mab.
Calcoliamo l’equazione dell’ellissoide d’inerzia di centro O, dove O coincide con il centro del disco.
Sia (O;x,y,z) scelto in modo che il disco sia contenuto nel piano (O;x,y). L’asse z è un asse
principale d’inerzia e inoltre, poiché ogni asse passante per il centro e appartenente al piano (O;x,y)
èdisimmetria,seguecheanchegliassixey sonoprincipalidiinerzia;infinesiosservicheruotandodi
π/2ildiscoilsistemamaterialesipresentainvariatoalloraseguecheA = B echequindiA = B = 1
2C. Rimane dunque da calcolare solo C, sia R il raggio del disco e µ = m/πR2 , si ha che:
C = µ(x
disco
2 +y 2 )dxdy = m
πR2 2π R
dθ r
0 0
2 rdr = 1
2 mR2 .
3.2.6 Matrice d’inerzia
Matrice d’inerzia
Fissata una terna (O;x,y,z) si definisce la matrice d’inerzia
⎛ ⎞
⎜
I = ⎝
I11 I12 I13
⎟
I21 I22 I23⎠
I31 I32 I33