Note del corso di Fisica Matematica A

66 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
Calcolo di ellissoidi d’inerzia
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Fig. 3.4. Ellissoide d’inerzia di centro O.
Premettiamo le seguenti osservazioni che facilitano il calcolo dell’ellissoide d’inerzia:
i. Se un sistema S ammette un piano di simmetria, ogni perpendicolare a questo piano è asse
principale di inerzia rispetto al suo piede, cioé rispetto all’ellissoide di inerzia avente centro dato
dalla intersezione tra l’asse ed il piano. Infatti, sia z = 0 questo piano; quindi ad ogni punto Ps di
coordinate (xs,ys,zs) e massa ms corrisponde attraverso la simmetria un punto Ps ′ di coordinate
(xs ′ = xs,ys ′ = ys,zs ′ = −zs) e massa ms ′ = ms. Da ciò segue che i momenti di deviazione
B ′ N
= msxszs e C
s=1
′ N
= msyszs
s=1
sono nulli poiché le somme si possono organizzare come una serie di somme di due elementi aventi
stessa massa, stesse coordinate xs e ys e coordinata zs opposta. Inoltre se un sistema possiede
due piani ortogonali di simmetria, questi sono necessariamente piani principali dell’ellissoide di
inerzia relativo ad un punto qualsiasi della loro intersezione.
ii. Sia il sistema S appartenente ad un piano e sia il centro O dell’ellissoide appartenente anch’esso al
piano. Scegliamo il sistema di coordinate (O;x,y,z) con z ortogonale al piano. Il piano (O;x,y),
in quanto contenente la figura, è manifestamente un piano di simmetria materiale e quindi l’asse
z è un asse principale d’inerzia: B ′ = C ′ = 0. Inoltre vale anche la seguente proprietà, essendo
zs = 0 per ogni punto Ps allora:
Vediamo alcuni esempi:
Lamina rettangolare omogenea
C =
ms(x 2 s +y 2 s) =
ms(x 2 s +z 2 s)+
ms(y 2 s +z 2 s) = A+B.
s
s
Volendo calcolare l’equazione dell’ellissoide d’inerzia di centro O, dove O coincide con uno dei vertici
della lamina, sia (O;x,y,z) scelto in modo che la lamina sia contenuta nel piano (O;x,y) e che gli assi
s