Note del corso di Fisica Matematica A

3.2 Geometria delle masse 65
I coefficienti A, B, C hanno un significato ovvio, sono i momenti di inerzia di S rispetto
agli assi coordinati. Gli altri tre coefficienti A ′ , B ′ , C ′ si chiamano prodotti di inerzia o anche
momenti di deviazione.
Si noti che il calcolo dei tre momenti d’inerzia si può effettuare come:
A = s2 +s3, B = s1 +s3, C = s2 +s1, (3.27)
dove s1, s2, s3 sono i momenti di inerzia del sistema S rispetto ai piani coordinati:
3.2.5 Ellissoide d’inerzia e assi principali
N
s1 = msx
s=1
2 N
s, s2 = msy
s=1
2 N
s, s3 = msz
s=1
2 s. (3.28)
Immaginiamo di portare su ciascun raggio (determinato da α, β, γ) uscente da O il segmento di
lunghezza (perdendone il significato dimensionale)
OL = 1
√ , cioé x = α/ Ir, y = β/ Ir e z = γ/ Ir,
Ir
dove Ir è la funzione quadratica di α, β, γ definita dalla (3.25). Escludendo il caso particolare
che tutti i punti appartengano ad una medesima retta passante per O, il momento di inerzia
1
Ir = Ir(α, β, γ) non può essere mai nullo. Perciò √Ir è, in corrispondenza ad ogni raggio,
un numero finito ed il luogo dei punti L costituisce una superficie chiusa simmetrica rispetto al
punto O. Designando ora con x,y,z le coordinate di un generico punto L e essendo α = x √ Ir, β =
y √ Ir, γ = z √ Ir; la (3.25) diventa:
Ax 2 +By 2 +Cz 2 −2A ′ yz −2B ′ zx−2C ′ xy = 1; (3.29)
che è l’equazione di una quadrica che, essendo chiusa, è un ellissoide il cui centro è O.
Definizione 3.17. L’ellissoide di equazione (3.29) si chiama ellissoide d’inerzia relativo al
punto O.
Noto tale ellissoide si ha subito il momento di inerzia rispetto ad ogni retta r passante per O.
Infatti, essendo L uno dei due punti in cui r incontra l’ellissoide, sarà Ir = 1
OL2. Da qui risulta
che, tra tutti gli assi condotti per O, quello che dà il più piccolo momento di inerzia è l’asse
maggiore dell’ellissoide, quello che dà il più grande momento di inerzia è l’asse minore
dell’ellissoide. Gli assi dell’ellissoide di inerzia si chiamano assi principali di inerzia relativi al
punto considerato e, assumendoli, come assi coordinati, la (3.29) si riduce alla forma particolare
Ax 2 +By 2 +Cz 2 = 1,
in questo caso A, B, C prendono il nome di momenti di inerzia relativi agli assi principali o
momenti principali di inerzia.