Note del corso di Fisica Matematica A

64 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
N
Ir = ms(x
s=1
2 s +y 2 s +d 2 −2dxs)
N
= ms(x
s=1
2 s +y 2 s)+d 2
N N
ms −2d msxs = Ir0 +md
s=1 s=1
2
essendo N s=1msxs = mxG = 0 poiché G = O.
Momenti di inerzia rispetto ad assi concorrenti
Teorema 3.16. Sia data una retta r, sia (O;x,y,z) un sistema di riferimento ortogonale destro
con O appartenente alla retta r, siano α, β, γ i coseni direttori della retta r (comunque orientata)
rispetto agli assi coordinati. Si prova che il momento di inerzia di un dato sistema S rispetto alla
retta r vale:
dove si è posto:
Ir = Aα 2 +Bβ 2 +Cγ 2 −2A ′ αβ −2B ′ αγ −2C ′ βγ (3.25)
⎧
⎪⎨ A = Ix =
⎪⎩
N s=1ms(y2 s +z2 s)
B = Iy = N s=1ms(x2 s +z2 s)
C = Iy = N s=1ms(y2 s +x2 s)
e
⎧
⎪⎨ A
⎪⎩
′ = N s=1msxsys
B ′ = N s=1msxszs
C ′ = N s=1msyszs
(3.26)
Dimostrazione. la dimostrazione si effettua con un calcolo diretto osservando che la distanza ds di
un punto Ps da un asse passante per O avente direzione individuata da un versore ˆr = αî+βˆj+γ ˆ k
è data da
⎛
î ˆj
⎜
ds = |(Ps −O)׈r| = det⎝
ˆ ⎞
k
⎟
xs ys zs⎠
α β γ
= (ysγ −zsβ) 2 +(xsγ −zsα) 2 +(xsβ −ysα) 2 .
Quindi
N
Ir = msd
s=1
2 N
s = ms (xsβ −ysα)
s=1
2 +(xsγ −zsα) 2 +(ysγ −zsβ) 2
N
= ms (x
s=1
2 s +z 2 s)β 2 +(y 2 s +z 2 s)α 2 +(x 2 s +y 2 s)γ 2 +
−2xsy2αβ −2x2z2γα−2yszsβγ]
completando così la dimostrazione.
La (3.25) determina il momento di inerzia, rispetto ad ogni direzione α,β,γ, passante per O, in
funzione delle sei costanti A, B, C, A ′ , B ′ e C ′ , che dipendono dalla natura del sistema ma
non del particolare asse r. Si noti che la (3.25) è una funzione quadratica e omogenea nelle
α,β,γ; in particolare rimane inalterata quando invertiamo α, β e γ con −α, −β e −γ.