Note del corso di Fisica Matematica A

Ir =
S
d 2 µdS
3.2 Geometria delle masse 63
dove d è la distanza dall’asse del generico elemento dS di campo intorno a un punto P e µ denota
la densità.
Fig. 3.3. Teorema di Huyghens: scelta dei sistemi di refiremento.
Nel seguito discuteremo le proprietà principali dei momenti di inerzia supponendo di operare con una
distribuzione discreta di corpi puntiformi. I risultati ottenuti valgono anche nel caso più generale di
distribuzione continua dove, nelle dimostrazioni, basta sostituire alle somme gli integrali.
Momenti di inerzia rispetto ad assi paralleli
Teorema 3.15 (Teorema di Huyghens). Il momento di inerzia Ir di un sistema S rispetto ad un
asse r è uguale al momento di inerzia Ir0 rispetto all’asse parallelo r0, passante per il baricentro,
aumentato del prodotto della massa totale m per il quadrato della distanza d tra questi due assi:
Ir = Ir0 +md 2 .
Segue che, tra tutti gli assi paralleli a una direzione data, quello per cui il momento di inerzia è
minimo passa per il baricentro.
Dimostrazione. Scegliamo un sistema di riferimento (O;x,y,z) in cui O coincide con il baricentro,
l’asse (O;z) con l’asse r0 e l’asse r con l’asse di equazioni y = 0 e x = d. Rispetto a questo sistema
di riferimento e assumendo che il sistema sia costituito da un numero discreto di punti avremo che
che sviluppata dà
N
Ir0 = ms(x
s=1
2 s +y 2 N
s) e Ir = ms((xs −d)
s=1
2 +y 2 s)