Note del corso di Fisica Matematica A

62 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
Lamina triangolare omogenea
Osservandocheciascunamedianaèlineadiametraleconiugataalladirezionedellatocheessadimezza
allora il baricentro appartiene ad ogni mediana e quindi il baricentro è dato dalla intersezione tra le
mediane (più precisamente si ha che, fissato un lato come base, il baricentro si trova sulla corrispondente
mediana, ad un terzo della sua lunghezza a partire dalla base).
Arco di circonferenza omogenea
.
α θ
Fig. 3.2. Baricentro di un arco di circonferenza.
yG = 1
rα
= r
α
Sia AB l’arco avente un angolo al vertice α e raggio r, O
il centro della circonferenza ed M il punto medio dell’arco.
LarettaOM èmanifestamenteunassedisimmetria,quindi
il baricentro sta su tale retta. Per precisare la posizione di
G su tale retta si procede al seguente calcolo: introducendo
un sistema di coordinate cartesiane aventi centro O e l’asse
OM quale asse (O;y) allora abbiamo che
xG = 0 e yG = 1
µyds
m AB
dove m è la massa dell’arco e µ la sua densità data da
µ = m/rα. Introducendo l’angolo θ = POM, dove P è un
generico punto sull’arco, l’integrale prende la forma
α/2
−α/2
α/2
−α/2
rcosθrdθ
cosθdθ = 2r
α sin(α/2).
Questo risultato può essere anche rivisto nel seguente modo: assumendo 0 ≤ α ≤ 2π ed essendo
AB = 2rsin(α/2) la lunghezza della corda congiungente A e B e S = rα la lunghezza dell’arco,
allora segue che
3.2.4 Momenti di inerzia
OG = r AB
S .
Definizione 3.14. Sia P un punto materiale di massa m, r una retta generica, d la distanza di P
da r. Per momento di inerzia di P rispetto all’asse r, si intende il prodotto md 2 della massa di
P per il quadrato della sua distanza dall’asse. In generale, dato un sistema S, costituito da N punti
materiali Ps di massa ms, si chiamerà momento di inerzia Ir del sistema rispetto all’asse r,
la somma dei momenti di inerzia dei singoli suoi punti:
N
Ir = msd
s=1
2 s, (3.24)
dove indichiamo con ms la massa del punto generico Ps del sistema e con ds la sua distanza da r.
Nel caso di masse distribuite con continuità nel volume S il momento di inerzia è dato da: