Note del corso di Fisica Matematica A

3.2 Geometria delle masse 61
Segue che: se un sistema possiede un piano diametrale, o in particolare un piano di
simmetria, il baricentro giace in questo piano. Infatti,lecoppiedipunticoniugatihannoilloro
baricentro nel punto medio del segmento congiungente, cioé sul piano diametrale. In particolare: se
un sistema ammette più piani diametrali, questi hanno necessariamente almeno un punto in comune,
cioé il baricentro del sistema.
Momento polare
Definizione 3.12. Definiamo come momento polare di un sistema S, rispetto ad un punto O, la
somma dei prodotti delle masse ms dei punti Ps di S per i quadrati delle loro distanze da O, cioé il
numero:
N
MO = ms|O−Ps|
s=1
2 .
Teorema 3.13 (Teorema del Lagrange). Si può caratterizzare il baricentro di un generico sistema
come quel punto dello spazio per cui il momento polare risulta minimo.
Dimostrazione. Infatti si prova direttamente che
poiché N s=1ms(G−Ps) = 0.
N
MO = ms|O−Ps|
s=1
2
N
= ms|O−G|
s=1
2 N
+ ms|G−Ps|
s=1
2 N
+2 ms(G−Ps)·(O −G)
= MG +m|O−G|
s=1
2
3.2.3 Baricentro di un corpo, di una superficie e di una linea materiale
Nel caso di sistemi continui il baricentro di un corpo è definito dall’espressione vettoriale
G−O = 1
(P −O)µdV, M = µdV , (3.22)
M V
V
dove V è la regione dello spazio occupata dal corpo e µ ne è la sua densità. Dalla (3.22), proiettata
sugli assi, si ottengono per le coordinate xG,yG,zG di G, le espressioni
xG = 1
xµdV, yG =
M S
1
yµdV, zG =
M V
1
zµdV . (3.23)
M V
Tali formule restano valide anche per un qualsiasi superficie o linea materiale, quando si intenda
µ la densità superficiale o lineare e al campo di integrazione a tre dimensioni una superficie o,
rispettivamente, una curva.
I risultati già visti nel caso di un sistema discreto di punti continuano a sussistere.
Consideriamo il baricentro di alcune figure elementari: