Note del corso di Fisica Matematica A
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3.2 Geometria <strong>del</strong>le masse 61<br />
Segue che: se un sistema possiede un piano <strong>di</strong>ametrale, o in particolare un piano <strong>di</strong><br />
simmetria, il baricentro giace in questo piano. Infatti,lecoppie<strong>di</strong>punticoniugatihannoilloro<br />
baricentro nel punto me<strong>di</strong>o <strong>del</strong> segmento congiungente, cioé sul piano <strong>di</strong>ametrale. In particolare: se<br />
un sistema ammette più piani <strong>di</strong>ametrali, questi hanno necessariamente almeno un punto in comune,<br />
cioé il baricentro <strong>del</strong> sistema.<br />
Momento polare<br />
Definizione 3.12. Definiamo come momento polare <strong>di</strong> un sistema S, rispetto ad un punto O, la<br />
somma dei prodotti <strong>del</strong>le masse ms dei punti Ps <strong>di</strong> S per i quadrati <strong>del</strong>le loro <strong>di</strong>stanze da O, cioé il<br />
numero:<br />
N<br />
MO = ms|O−Ps|<br />
s=1<br />
2 .<br />
Teorema 3.13 (Teorema <strong>del</strong> Lagrange). Si può caratterizzare il baricentro <strong>di</strong> un generico sistema<br />
come quel punto <strong>del</strong>lo spazio per cui il momento polare risulta minimo.<br />
Dimostrazione. Infatti si prova <strong>di</strong>rettamente che<br />
poiché N s=1ms(G−Ps) = 0.<br />
N<br />
MO = ms|O−Ps|<br />
s=1<br />
2<br />
N<br />
= ms|O−G|<br />
s=1<br />
2 N<br />
+ ms|G−Ps|<br />
s=1<br />
2 N<br />
+2 ms(G−Ps)·(O −G)<br />
= MG +m|O−G|<br />
s=1<br />
2<br />
3.2.3 Baricentro <strong>di</strong> un corpo, <strong>di</strong> una superficie e <strong>di</strong> una linea materiale<br />
Nel caso <strong>di</strong> sistemi continui il baricentro <strong>di</strong> un corpo è definito dall’espressione vettoriale<br />
G−O = 1<br />
<br />
<br />
(P −O)µdV, M = µdV , (3.22)<br />
M V<br />
V<br />
dove V è la regione <strong>del</strong>lo spazio occupata dal corpo e µ ne è la sua densità. Dalla (3.22), proiettata<br />
sugli assi, si ottengono per le coor<strong>di</strong>nate xG,yG,zG <strong>di</strong> G, le espressioni<br />
xG = 1<br />
<br />
xµdV, yG =<br />
M S<br />
1<br />
<br />
yµdV, zG =<br />
M V<br />
1<br />
<br />
zµdV . (3.23)<br />
M V<br />
Tali formule restano valide anche per un qualsiasi superficie o linea materiale, quando si intenda<br />
µ la densità superficiale o lineare e al campo <strong>di</strong> integrazione a tre <strong>di</strong>mensioni una superficie o,<br />
rispettivamente, una curva.<br />
I risultati già visti nel caso <strong>di</strong> un sistema <strong>di</strong>screto <strong>di</strong> punti continuano a sussistere.<br />
Consideriamo il baricentro <strong>di</strong> alcune figure elementari: