Note del corso di Fisica Matematica A

60 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
N
ms(Ps −G) = 0.
s=1
La (3.20) si può proiettare lungo assi assegnati:
xG =
Ns=1msxs
m
, yG =
Ns=1msys
m
, zG =
Ns=1mszs
dove xG,yG,zG designano le coordinate del baricentro e xs,ys,zs quelle dei punti Ps.
Diamo alcune ovvie proprietà:
m
, (3.21)
i. Se tutti i punti Ps appartengono ad un medesimo piano o ad una medesima retta, lo stesso avviene
per il loro baricentro.
ii. Definiamo momento statico di un punto P di massa m rispetto ad un piano π, il prodotto
di m per la sua distanza dal piano (distanza con segno in base al riferimento fissato). Allora,
facendo coincidere il piano π con il piano z = 0, dalla terza delle (3.21) segue che: la somma dei
momenti statici delle masse di un sistema, rispetto ad un generico piano π, coincide
con il momento statico della massa totale, supposta localizzata nel baricentro.
iii.Proprietà distributiva del baricentro: siano S ′ ed S ′′ due sistemi materiali (costituiti da un numero
finito N ′ ed N ′′ di punti). Il baricentro del sistema S formato dai punti di S ′ e di S ′′ può essere
calcolato come il baricentro tra due punti P ′ e P ′′ posti nei baricentri di S ′ ed S ′′ e aventi masse
m ′ ed m ′′ uguali alle masse totali dei due sistemi S ′ ed S ′′ .
iv.Se tutti i punti Ps sono contenuti in un insieme convesso allora il baricentro stesso vi appartiene.
Mentre le i., ii. e iii. sono evidenti la iv. necessita di una dimostrazione. Supponiamo per assurdo
che il baricentro sia esterno. Poiché un dominio convesso (assumendo per semplicità che il suo
contorno sia regolare) si può ottenere come l’inviluppo di tutti i suoi piani tangenti allora esiste un
piano che divide il baricentro dal dominio. Il momento statico del baricentro, rispetto a tale piano,
avrà quindi segno opposto a quello del sistema cadendo quindi in assurdo.
Osserviamo che tale dimostrazione si basa sul fatto che il contorno del dominio è regolare.
È pos-
sibile dare una dimostrazione alternativa diretta che non necessita di ipotesi sul contorno del dominio
ma che fa uso della seguente proprietà degli insiemi convessi: dati due punti qualsiasi appartenenti
all’insieme allora anche ogni punto del segmento congiungente vi appartiene. Consideriamo ora del
sistema di punti S contenuti nel convesso i primi due punti e calcoliamone il loro baricentro. Esso
appartiene al segmento congiungente e quindi è interno al convesso. Calcoliamo ora il baricentro
tra un terzo punto P3 di S ed il baricentro dei primi due punti appena trovato al quale assegniamo
massa m1 + m2. Anche questo nuovo baricentro apparterrà al convesso. Insomma, procedendo in
N −1 passi alla fine si troverà il baricentro totale di S e questo sarà ancora interno al convesso.
Piani diametrali di simmetria
Si dice che un sistema S di punti materiali possiede un piano diametrale π, coniugato ad una
assegnata direzione r (non parallela al piano), quando ad ogni punto di S ne fa riscontro un altro,
di egual massa, situato sulla parallela ad r passante per il primo, alla stessa distanza dal piano
π e dalla banda opposta. I punti, che così si corrispondono, si chiamano coniugati. Un piano
diametrale π si chiama in particolare piano di simmetria (geometrico-materiale) quando la
direzione coniugata r è perpendicolare al piano.