Note del corso di Fisica Matematica A

3.2 Geometria delle masse 59
cioé µ fornisce il rapporto tra la massa dm di una porzione infinitesima del nostro corpo e il corrispondente
volume infinitesimo dV. Scriveremo
e la massa m dell’intero corpo C si potrà rappresentare con l’integrale
m = µdV = µV
dm = µdV (3.17)
V
esteso a tutta la regione V di spazio occupata da C ritrovando, in accordo con quanto già visto,
µ = m
V .
Generalizziamo tali concetti ad un corpo non omogeneo: definiremo densità del corpo la fun-
zione µ(P), dipendente solo dal punto P ∈ V, tale che
∆m = µdV (3.18)
∆V
dove ∆V è il volume di una parte qualunque del corpo e ∆m la sua massa. Cioé ammetteremo
come caratteristica di un generico corpo naturale C l’esistenza della densità locale µ e
quindi, in particolare, integrabile nei punti P del campo V occupato dal corpo. La funzione µ ha le
dimensioni di una massa su un volume: mℓ−3 . La massa m è data da
m = µdV. (3.19)
V
Nel caso in cui la massa sia distribuita su una superficie σ o su una curva γ allora, in analogia al caso
precedente, si introduce una densità superficiale (di dimensione mℓ −2 ) o una densità lineare (di
dimensione mℓ −1 ) e la (3.19) deve essere sostituita, rispettivamente, da un integrale superficiale o
curvilineo
m =
σ
µdσ o m =
La densità µ rappresenta, dal punto di vista matematico, una misura; nel caso in cui questa si
riduca alle misure atomiche del tipo δ di Dirac allora ritroviamo la usuale rappresentazione particellare.
3.2.2 Baricentro di un sistema discreto di punti materiali
Definizione 3.11. Diremo baricentro o centro di gravità del sistema, costituito da un numero
finito N di punti Ps di massa ms, il punto G individuato dall’equazione vettoriale
γ
µds.
Ns=1ms(Ps −O)
N
G−O = , dove m = ms
m
s=1
(3.20)
è la massa totale del sistema e ms sono le masse dei punti materiali Ps costituenti il sistema; O è
un qualsiasi punto (geometrico) di riferimento.
Osserviamo che dalla (3.20) segue immediatamente che