Note del corso di Fisica Matematica A

58 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
Esercizio 3.2: Sia data la forza posizionale (P,F = 3yî + 2xˆj), dove P ha coordinate (x,y,z);
calcolare il lavoro compiuto da questa forza quando:
i. il punto P di applicazione della forza percorre la parabola y = Kx 2 , K costante positiva, partendo
dall’origine fino al punto di ascissa a;
ii. il punto P di applicazione della forza percorre il segmento rettilineo di estremi l’origine ed il punto
(a,Ka 2 );
iii.confrontando i due risultati rispondere alla domanda: la forza data è conservativa?
Esercizio 3.3: Sia data la forza posizionale
con a e c costanti. Si domanda:
(P,F = ayî+axˆj+c ˆ k)
i. verificare che la forza data ammette la funzione U(x,y,z) = axy +cz come potenziale;
ii. facendo uso della funzione potenziale U calcolare il lavoro della forza quando il punto P di applicazione
passa da P1(0,0,0) a P2(R,R,0);
iii.per altra via determinare il lavoro della forza quando il punto P passa da P1 a P2 lungo:
- un arco di circonferenza di centro C(R,0,0) e raggio R,
- un segmento rettilineo che congiunge direttamente P1 con P2,
- due segmenti rettilinei, il primo che congiunge P1 con C ed il secondo che congiunge C con P2.
Esercizio 3.4: Dimostrare che la forza
(P,F = (3x 2 y −y 2 )î+(x 3 −2xy +1)ˆj)
è conservativa, calcolarne la funzione potenziale e il lavoro della forza quando il suo punto di applicazione
passa da P1(3,−2,0) a P2(1,3,0).
3.2 Geometria delle masse
Abbandoniamo per un attimo la visione particellare della Meccanica e ammettiamo che la massa di
un corpo non sia necessariamente concentrata in un punto ma sia distribuita in modo continuo su
tutta una regione dello spazio.
3.2.1 Densità
Icorpifisicamenteomogeneisonocaratterizzatidallaproprietàche le masse delle loro parti sono
proporzionali ai rispettivi volumi. Indicando con V il volume di un qualsiasi corpo omogeneo
C, con m la sua massa e con ∆V e ∆m il volume e la massa di una qualsiasi sua parte, avremo
µ = ∆m m = dove questo rapporto è costante e indipendente dalla porzione ∆V scelta. Diremo
∆V V
questo rapporto densità del corpo omogeneo C.
Passando al limite avremo
µ = dm
dV
(3.16)