Note del corso di Fisica Matematica A
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58 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche<br />
Esercizio 3.2: Sia data la forza posizionale (P,F = 3yî + 2xˆj), dove P ha coor<strong>di</strong>nate (x,y,z);<br />
calcolare il lavoro compiuto da questa forza quando:<br />
i. il punto P <strong>di</strong> applicazione <strong>del</strong>la forza percorre la parabola y = Kx 2 , K costante positiva, partendo<br />
dall’origine fino al punto <strong>di</strong> ascissa a;<br />
ii. il punto P <strong>di</strong> applicazione <strong>del</strong>la forza percorre il segmento rettilineo <strong>di</strong> estremi l’origine ed il punto<br />
(a,Ka 2 );<br />
iii.confrontando i due risultati rispondere alla domanda: la forza data è conservativa?<br />
Esercizio 3.3: Sia data la forza posizionale<br />
con a e c costanti. Si domanda:<br />
(P,F = ayî+axˆj+c ˆ k)<br />
i. verificare che la forza data ammette la funzione U(x,y,z) = axy +cz come potenziale;<br />
ii. facendo uso <strong>del</strong>la funzione potenziale U calcolare il lavoro <strong>del</strong>la forza quando il punto P <strong>di</strong> applicazione<br />
passa da P1(0,0,0) a P2(R,R,0);<br />
iii.per altra via determinare il lavoro <strong>del</strong>la forza quando il punto P passa da P1 a P2 lungo:<br />
- un arco <strong>di</strong> circonferenza <strong>di</strong> centro C(R,0,0) e raggio R,<br />
- un segmento rettilineo che congiunge <strong>di</strong>rettamente P1 con P2,<br />
- due segmenti rettilinei, il primo che congiunge P1 con C ed il secondo che congiunge C con P2.<br />
Esercizio 3.4: Dimostrare che la forza<br />
(P,F = (3x 2 y −y 2 )î+(x 3 −2xy +1)ˆj)<br />
è conservativa, calcolarne la funzione potenziale e il lavoro <strong>del</strong>la forza quando il suo punto <strong>di</strong> applicazione<br />
passa da P1(3,−2,0) a P2(1,3,0).<br />
3.2 Geometria <strong>del</strong>le masse<br />
Abbandoniamo per un attimo la visione particellare <strong>del</strong>la Meccanica e ammettiamo che la massa <strong>di</strong><br />
un corpo non sia necessariamente concentrata in un punto ma sia <strong>di</strong>stribuita in modo continuo su<br />
tutta una regione <strong>del</strong>lo spazio.<br />
3.2.1 Densità<br />
Icorpifisicamenteomogeneisonocaratterizzatidallaproprietàche le masse <strong>del</strong>le loro parti sono<br />
proporzionali ai rispettivi volumi. In<strong>di</strong>cando con V il volume <strong>di</strong> un qualsiasi corpo omogeneo<br />
C, con m la sua massa e con ∆V e ∆m il volume e la massa <strong>di</strong> una qualsiasi sua parte, avremo<br />
µ = ∆m m = dove questo rapporto è costante e in<strong>di</strong>pendente dalla porzione ∆V scelta. Diremo<br />
∆V V<br />
questo rapporto densità <strong>del</strong> corpo omogeneo C.<br />
Passando al limite avremo<br />
µ = dm<br />
dV<br />
(3.16)