Note del corso di Fisica Matematica A
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3.1 Concetti e postulati fondamentali <strong>del</strong>la meccanica 57<br />
Teorema 3.9 (Teorema <strong>del</strong>la forza viva). Durante il moto determinato da una forza su<br />
<strong>di</strong> un punto materiale libero, il lavoro elementare <strong>del</strong>la forza è, per ogni intervallo infinitesimo<br />
dt, uguale (in valore e segno) all’incremento subito nel medesimo intervallo dall’energia cinetica <strong>del</strong><br />
punto.<br />
In termini più precisi questo teorema afferma che il <strong>di</strong>fferenziale (rispetto al tempo) <strong>del</strong>l’energia<br />
cinetica durante il moto coincide con il lavoro infinitesimo reale dL = F·dP dove dP è lo spostamento<br />
infinitesimo reale.<br />
Si consideri ora il lavoro L compiuto da F su P nell’intervallo <strong>di</strong> tempo da un istante fisso t0 ad<br />
un istante variabile t. Integrando la (3.13) da t0 a t, otterremo:<br />
L = T −T0, (3.14)<br />
dove T0 in<strong>di</strong>ca la energia cinetica <strong>del</strong> punto nell’istante t0; cioé: la variazione che, in un qualsiasi<br />
intervallo <strong>di</strong> tempo, subisce l’energia cinetica <strong>di</strong> un punto libero sollecitato è uguale al<br />
lavoro compiuto in quell’intervallo <strong>di</strong> tempo dalla forza totale sollecitante. In particolare<br />
T − L = T0 = Cost., cioé la somma tra l’energia T, che il mobile possiede ad ogni istante sotto<br />
forma <strong>di</strong> energia cinetica, e l’energia −L, che da un generico istante t0 in poi esso è andato cedendo<br />
all’esterno sotto forma <strong>di</strong> lavoro, rimane costante (energia totale). Nel caso <strong>di</strong> forze conservative,<br />
essendo l’energia −L uguale al potenziale U cambiato <strong>di</strong> segno (a meno <strong>di</strong> costanti ad<strong>di</strong>tive), allora<br />
l’energia meccanica totale, denotata con E, ha espressione<br />
T −U = E<br />
(equazione <strong>del</strong>le forza viva). La −U si chiama energia potenziale (usualmente denotata con<br />
V). Si ha quin<strong>di</strong> che:<br />
Teorema 3.10 (Principio <strong>di</strong> conservazione <strong>del</strong>l’energia meccanica). Durante il moto determinato<br />
da una forza conservativa su <strong>di</strong> un punto materiale libero la grandezza meccanica<br />
si mantiene costante.<br />
T +V = E (3.15)<br />
Osserviamo che la (3.15) afferma che, essendo P = P(t) la legge <strong>del</strong> moto, allora si deve avere che<br />
3.1.9 Esercizi<br />
Esercizio 3.1: Calcolare i seguenti potenziali:<br />
1<br />
2 mv2 (t)+V[P(t)] = E, ∀t ≥ t0.<br />
i. potenziale <strong>del</strong>la forza peso <strong>di</strong> vettore −mgˆj;<br />
ii. potenziale <strong>del</strong>la forza costante <strong>di</strong> vettore aî+bˆj+c ˆ k;<br />
iii.potenziale <strong>di</strong> una forza centrale <strong>di</strong> vettore f(ρ)ˆr dove ˆr è un versore <strong>di</strong>retto dal punto <strong>di</strong> applicazione<br />
ad un punto fisso e dove ρ è la <strong>di</strong>stanza tra il punto <strong>di</strong> applicazione e il punto fisso;<br />
iv.potenziale <strong>del</strong>la forza <strong>di</strong> attrazione gravitazionale.