Note del corso di Fisica Matematica A

3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica 57
Teorema 3.9 (Teorema della forza viva). Durante il moto determinato da una forza su
di un punto materiale libero, il lavoro elementare della forza è, per ogni intervallo infinitesimo
dt, uguale (in valore e segno) all’incremento subito nel medesimo intervallo dall’energia cinetica del
punto.
In termini più precisi questo teorema afferma che il differenziale (rispetto al tempo) dell’energia
cinetica durante il moto coincide con il lavoro infinitesimo reale dL = F·dP dove dP è lo spostamento
infinitesimo reale.
Si consideri ora il lavoro L compiuto da F su P nell’intervallo di tempo da un istante fisso t0 ad
un istante variabile t. Integrando la (3.13) da t0 a t, otterremo:
L = T −T0, (3.14)
dove T0 indica la energia cinetica del punto nell’istante t0; cioé: la variazione che, in un qualsiasi
intervallo di tempo, subisce l’energia cinetica di un punto libero sollecitato è uguale al
lavoro compiuto in quell’intervallo di tempo dalla forza totale sollecitante. In particolare
T − L = T0 = Cost., cioé la somma tra l’energia T, che il mobile possiede ad ogni istante sotto
forma di energia cinetica, e l’energia −L, che da un generico istante t0 in poi esso è andato cedendo
all’esterno sotto forma di lavoro, rimane costante (energia totale). Nel caso di forze conservative,
essendo l’energia −L uguale al potenziale U cambiato di segno (a meno di costanti additive), allora
l’energia meccanica totale, denotata con E, ha espressione
T −U = E
(equazione delle forza viva). La −U si chiama energia potenziale (usualmente denotata con
V). Si ha quindi che:
Teorema 3.10 (Principio di conservazione dell’energia meccanica). Durante il moto determinato
da una forza conservativa su di un punto materiale libero la grandezza meccanica
si mantiene costante.
T +V = E (3.15)
Osserviamo che la (3.15) afferma che, essendo P = P(t) la legge del moto, allora si deve avere che
3.1.9 Esercizi
Esercizio 3.1: Calcolare i seguenti potenziali:
1
2 mv2 (t)+V[P(t)] = E, ∀t ≥ t0.
i. potenziale della forza peso di vettore −mgˆj;
ii. potenziale della forza costante di vettore aî+bˆj+c ˆ k;
iii.potenziale di una forza centrale di vettore f(ρ)ˆr dove ˆr è un versore diretto dal punto di applicazione
ad un punto fisso e dove ρ è la distanza tra il punto di applicazione e il punto fisso;
iv.potenziale della forza di attrazione gravitazionale.