Note del corso di Fisica Matematica A

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56 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche In particolare: Corollario: Il lavoro compiuto da una forza conservativa lungo una curva chiusa è nullo. Tale proprietà è caratteristica per le forze conservative (e da alcuni autori è posta come definizione di forza conservativa). Cioé se per una forza F il lavoro compiuto per un qualsiasi cammino del punto di applicazione, fra due punti generici P1 e P2 di una certa regione spaziale C, dipende esclusivamente dalle posizioni estreme P1, P2 (e non dalla traiettoria), la F è conservativa. Infatti, sia P0, di coordinate (x0,y0,z0), fissato e sia P, di coordinate (x,y,z), variabile in C; possiamo quindi definire la seguente funzione scalare univalente U(x,y,z) = U(x,y,z)−U(x0,y0,z0) = LP0,P dove si è scelta la costante additiva del potenziale tale che U si annulli in P0. Dato P e dato lo spostamento infinitesimo dP abbiamo che tale relazione diventa, a meno di infinitesimi di ordine superiore, LP0,P +F·dP = LP0,P +LP,P+dP = LP0,P+dP = U(x+dx,y +dy,z +dz) = U(x,y,z)+dU dove abbiamo usato il fatto che LP,P+dP = dL = F·dP. Da ciò risulta che deve essere F·dP = dU e quindi la forza è conservativa. Se consideriamo il lavoro di una forza come una forma di energia fisica, ceduta o eventualmente sottrattaalsuopuntodiapplicazione,constatiamochequesta energia è complessivamente nulla per un generico ciclo; vi è dunque, nel senso accennato, conservazione di energia. 3.1.8 Lavoro ed energia cinetica Definizione 3.8. Definiamo energia cinetica di un punto materiale P il semi-prodotto T = 1 2 mv2 dove m è la massa e v è il modulo della velocità v di P. (3.12) Il lavoro elementare compiuto dalla forza (F,P) per uno spostamento elementare da essa impresso al punto materiale cui è applicata è dato da dL = dT (3.13) dove dT denota il differenziale (calcolato rispetto al tempo) dell’energia cinetica. Infatti abbiamo separatamente che dL = F·dP e dT = d 1 dt 2 mv2 dt = ma·vdt = ma·dP e queste due quantità coincidono dovendo essere F = ma per l’equazione fondamentale della Dinamica. Osserviamo che, stavolta, abbiamo assunto che il moto (3.7) non è qualsiasi ma è il moto impresso dalla forza F al punto P. La (3.13) giustifica il seguente Teorema:
3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica 57 Teorema 3.9 (Teorema della forza viva). Durante il moto determinato da una forza su di un punto materiale libero, il lavoro elementare della forza è, per ogni intervallo infinitesimo dt, uguale (in valore e segno) all’incremento subito nel medesimo intervallo dall’energia cinetica del punto. In termini più precisi questo teorema afferma che il differenziale (rispetto al tempo) dell’energia cinetica durante il moto coincide con il lavoro infinitesimo reale dL = F·dP dove dP è lo spostamento infinitesimo reale. Si consideri ora il lavoro L compiuto da F su P nell’intervallo di tempo da un istante fisso t0 ad un istante variabile t. Integrando la (3.13) da t0 a t, otterremo: L = T −T0, (3.14) dove T0 indica la energia cinetica del punto nell’istante t0; cioé: la variazione che, in un qualsiasi intervallo di tempo, subisce l’energia cinetica di un punto libero sollecitato è uguale al lavoro compiuto in quell’intervallo di tempo dalla forza totale sollecitante. In particolare T − L = T0 = Cost., cioé la somma tra l’energia T, che il mobile possiede ad ogni istante sotto forma di energia cinetica, e l’energia −L, che da un generico istante t0 in poi esso è andato cedendo all’esterno sotto forma di lavoro, rimane costante (energia totale). Nel caso di forze conservative, essendo l’energia −L uguale al potenziale U cambiato di segno (a meno di costanti additive), allora l’energia meccanica totale, denotata con E, ha espressione T −U = E (equazione delle forza viva). La −U si chiama energia potenziale (usualmente denotata con V). Si ha quindi che: Teorema 3.10 (Principio di conservazione dell’energia meccanica). Durante il moto determinato da una forza conservativa su di un punto materiale libero la grandezza meccanica si mantiene costante. T +V = E (3.15) Osserviamo che la (3.15) afferma che, essendo P = P(t) la legge del moto, allora si deve avere che 3.1.9 Esercizi Esercizio 3.1: Calcolare i seguenti potenziali: 1 2 mv2 (t)+V[P(t)] = E, ∀t ≥ t0. i. potenziale della forza peso di vettore −mgˆj; ii. potenziale della forza costante di vettore aî+bˆj+c ˆ k; iii.potenziale di una forza centrale di vettore f(ρ)ˆr dove ˆr è un versore diretto dal punto di applicazione ad un punto fisso e dove ρ è la distanza tra il punto di applicazione e il punto fisso; iv.potenziale della forza di attrazione gravitazionale.
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