Note del corso di Fisica Matematica A

Lavoro delle forze posizionali
3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica 55
In questo caso non è necessaria la conoscenza delle equazioni del moto del punto di applicazione del
punto P, ma basta conoscere la traiettoria. Infatti, se
P = P(s), ossia x = x(s), y = y(s), z = z(s) (3.9)
sono le equazioni di tale traiettoria allora la forza posizionale ha vettore
F = F(P)
che, mentre P percorre tale traiettoria, risulta definito come funzione della sola variabile s. Tenendo
presente che dP = vdt segue che il lavoro compiuto dalla forza (F,P) lungo la curva (3.9) fra due
punti generici P1 = P(s1) e P2 = P(s2) sarà determinato dall’integrale curvilineo
t2
L = F·vdt = F·dP = dL (3.10)
t1
γP 1 ,P 2
dove dL = F · dP prende il nome di lavoro infinitesimo e dove abbiamo operato il cambio di
variabile t → P(t), γP1,P2 è la traiettoria percorsa dal punto P nell’intervallo [t1,t2]. Osservando che
v = ˙sˆt e dP = dsˆt allora si può esprimere il lavoro finito L come
s2 s2 dx
L = Ftds = Fx
ds +Fy
dy
ds +Fz
dz
ds
ds
s1
s1
dove Ft è la componente del vettore della forza riguardo alla direzione tangente alla traiettoria in P
nel verso delle s crescenti.
Dalla (3.10) si può dedurre che se si inverte il verso del cammino del punto di applicazione, il
lavoro di una forza posizionale cambia verso.
Nel caso di forze posizionali è allora evidente che il lavoro non dipende esplicitamente dal tempo
t, inoltre dalla (3.10) appare anche evidente che il lavoro non dipende dalla legge oraria ma solo
dalla traiettoria.
Lavoro delle forze conservative
Per questa classe di forze posizionali si verifica la circostanza che per il calcolo del lavoro non si
richiede nemmeno la conoscenza della traiettoria del punto di applicazione della forza, ma basta ne
siano assegnati gli estremi P1 e P2. Infatti:
dL = F·dP = dU
dove U(x,y,z) rappresenta il potenziale. Integrando la (3.10), si ottiene per il lavoro L lungo un
qualsiasi cammino del punto di applicazione da P1(x1,y1,z1) a P2(x2,y2,z2) il valore
Pertanto abbiamo il seguente risultato.
γP 1 ,P 2
L = U(x2.y2,z2)−U(x1,y1,z1). (3.11)
Teorema 3.7. Qualunque sia il cammino descritto dal punto di applicazione di una forza conservativa
entro il suo campo, il lavoro da essa compiuto è uguale alla differenza di potenziale fra la
posizione di arrivo e quella di partenza del punto di applicazione.