Note del corso di Fisica Matematica A

54 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
F = φ(ρ)ˆr, ˆr = 1
(P −O).
ρ
Il prodotto scalare F·dP si può esprimere come prodotto delle componenti F e di dP secondo la
stessa direzione P −O:
F·dP = φ(ρ)ˆr·d(ρˆr) = φ(ρ)ˆr·[dρˆr+ρdˆr] = φ(ρ)dρ
poiché ˆr ⊥ dˆr. Quindi F·dP = φ(ρ)dρ è un differenziale esatto e integrando si ottiene:
U(ρ) =
ρ
ρ0
φ(τ)dτ +U0.
Le superfici equipotenziali U(ρ) = Cost. sono le sfere concentriche in O: ρ = Cost..
iv.Diamo un esempio di potenziale non univalente (=polidroma, cioé a più valori) in due dimensioni.
Immaginiamo introdotte le coordinate polari e sia la forza (P,F) del campo, in un generico
punto del piano P, distinto dall’origine O, così definita: F ha direzione normale al raggio vettore
P −O, verso delle anomalie crescenti, intensità k/ρ con k costante. Abbiamo escluso l’origine. Il
prodotto scalare F·dP = kdθ, e quindi kθ si può considerare come potenziale del campo. Si noti
che U non è funzione univalente del posto; infatti, partendo da un punto P e girando attorno
all’origine con continuità si torna a P con U incrementato (o decrementato) di 2πk. Osserviamo
che, in componenti cartesiane, si ha
y
Fx = k
x2 +y2 x
e Fy = −k
x2 +y2 e che la condizione (3.5) viene verificata; osserviamo però che ciò vale sul dominio R 2 −{(0,0)}
che non è semplicemente connesso.
3.1.7 Lavoro
Sia (P,F) una forza variabile qualsiasi, cioé, per considerare il caso più generale, dipendente dal
tempo, dalla posizione del suo punto di applicazione P, e della rispettiva velocità ˙ P. Sia definito
per il punto P un moto qualsiasi
P = P(t) ossia x = x(t), y = y(t), z = z(t). (3.7)
Pertanto, durante tale moto del punto di applicazione, il vettore
F = F[ ˙
P(t),P(t),t]
risulta definita come funzione esclusivamente del tempo.
Definizione 3.6. Diremo lavoro compiuto dalla forza (P,F) corrispondente al moto (3.7) del punto
di applicazione fradue istanti genericit1 e t2, o dalla posizione P(t1) alla posizione P(t2), la grandezza
scalare:
L =
t2
t1
F·vdt =
dove, a secondo membro, compare un integrale definito ordinario.
t2
t1
(Fx˙x+Fy˙y +Fz˙z)dt, (3.8)
Da ciò segue che, nel caso più generale, il lavoro dipende dalla traiettoria e dalla legge
oraria con cui la traiettoria viene percorsa dal punto, inoltre il lavoro dipende anche dal
tempo t.