Note del corso di Fisica Matematica A
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e proviamo che<br />
U(x,y) =<br />
x<br />
x0<br />
Fx(ξ,y)dξ +<br />
∂U<br />
∂x = Fx e ∂U<br />
∂y<br />
3.1 Concetti e postulati fondamentali <strong>del</strong>la meccanica 53<br />
y<br />
y0<br />
= Fy.<br />
Fy(x0,η)dη (3.6)<br />
La prima verifica è imme<strong>di</strong>ata. Per ciò che riguarda la seconda verifica assumendo che Fx sia<br />
sufficientemente regolare 1 in modo da potere derivare sotto il segno <strong>di</strong> integrale; così facendo si<br />
ottiene che<br />
∂U<br />
∂y =<br />
x<br />
<br />
∂Fx(ξ,y)<br />
x ∂Fy(ξ,y)<br />
dξ +Fy(x0,y) = dξ +Fy(x0,y)<br />
x0 ∂y<br />
x0 ∂x<br />
= Fy(x,y)−Fy(x0,y)+Fy(x0,y) = Fy(x,y)<br />
completando così la <strong>di</strong>mostrazione. Nel caso generale in cui la forza <strong>di</strong>penda anche dalla variabile z<br />
il ragionamento può essere facilmente esteso quando C = [a1,a2]×[b1,b2]×[c1,c2] e dove pren<strong>di</strong>amo<br />
U(x,y,z) =<br />
x<br />
x0<br />
Fx(ξ,y,z)dξ +<br />
y<br />
y0<br />
Fy(x0,η,z)dη +<br />
z<br />
z0<br />
Fz(x0,y0,ζ)dζ.<br />
Osserviamo che questo caso, a <strong>di</strong>fferenza <strong>del</strong> caso in cui C è piano, non è il più generale poiché<br />
nello spazio è possibile avere insiemi semplicemente connessi con ”buchi”. Osserviamo anche che la<br />
<strong>di</strong>mostrazione fornita è <strong>di</strong> tipo costruttivo, ovvero viene fornita con la (3.6) l’espressione esplicita <strong>del</strong><br />
potenziale.<br />
In un campo <strong>di</strong> forze conservativo <strong>di</strong> potenziale U, si <strong>di</strong>cono superfici equipotenziali le superfici<br />
definite dalla con<strong>di</strong>zione U(x,y,z) = Cost.. Se al punto <strong>di</strong> applicazione <strong>del</strong>la forza si fa subire uno<br />
spostamento elementare dP sulla superficie equipotenziale allora, in quanto U si mantiene costante,<br />
F·dP = 0, quin<strong>di</strong> la F è ortogonale a dP. Poiché ciò vale qualunque sia lo spostamento elementare<br />
dP sulla superficie equipotenziale, allora in un campo conservativo le linee <strong>di</strong> forza sono le<br />
traiettorie ortogonali alle superfici equipotenziali.<br />
Esempi <strong>di</strong> campi conservativi<br />
i. È conservativo ogni campo uniforme. Se F è il vettore <strong>del</strong>la forza (costante <strong>di</strong> intensità, verso<br />
e <strong>di</strong>rezione) allora (con una opportuna scelta degli assi) F = Fˆ k e F·dP = Fdz è un <strong>di</strong>fferenziale<br />
esatto, integrando si ottiene U = Fz +U0, dove U0 è una costante ad<strong>di</strong>tiva arbitraria.<br />
ii. La forza ha <strong>di</strong>rezione fissa e intensità <strong>di</strong>pendente esclusivamente dalla <strong>di</strong>stanza <strong>del</strong> punto <strong>di</strong><br />
applicazione da un certo piano fisso, ortogonale alla <strong>di</strong>rezione <strong>del</strong>la forza. Scelto questo piano<br />
come piano <strong>di</strong> riferimento z = 0 allora F = φ(z) ˆ k, quin<strong>di</strong> F·dP = φ(z)dz è un integrale esatto,<br />
integrando si ottiene U(z) = z φ(τ)dτ +U0. z0<br />
iii.La forza è, in ogni punto P, <strong>di</strong>retta verso un certo punto fisso O ed ha intensità <strong>di</strong>pendente<br />
esclusivamente dalla <strong>di</strong>stanza ρ = OP, <strong>del</strong> punto <strong>di</strong> applicazione dal centro O (forza centrale):<br />
1<br />
Più precisamente si assume che, ve<strong>di</strong> Teorema 9.1 a pag. 257 <strong>del</strong> Giusti, la funzione Fx(ξ,y) sia integrabile rispetto a ξ e<br />
<strong>di</strong> classe C 1 rispetto a y, inoltre assumiamo che esistano due funzioni g0(x) e g1(x) integrabili tali che |Fx(ξ,η)| ≤ g1(ξ) e<br />
≤ g1(ξ).<br />
∂Fx(ξ,η)<br />
∂ξ