Note del corso di Fisica Matematica A

e proviamo che
U(x,y) =
x
x0
Fx(ξ,y)dξ +
∂U
∂x = Fx e ∂U
∂y
3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica 53
y
y0
= Fy.
Fy(x0,η)dη (3.6)
La prima verifica è immediata. Per ciò che riguarda la seconda verifica assumendo che Fx sia
sufficientemente regolare 1 in modo da potere derivare sotto il segno di integrale; così facendo si
ottiene che
∂U
∂y =
x
∂Fx(ξ,y)
x ∂Fy(ξ,y)
dξ +Fy(x0,y) = dξ +Fy(x0,y)
x0 ∂y
x0 ∂x
= Fy(x,y)−Fy(x0,y)+Fy(x0,y) = Fy(x,y)
completando così la dimostrazione. Nel caso generale in cui la forza dipenda anche dalla variabile z
il ragionamento può essere facilmente esteso quando C = [a1,a2]×[b1,b2]×[c1,c2] e dove prendiamo
U(x,y,z) =
x
x0
Fx(ξ,y,z)dξ +
y
y0
Fy(x0,η,z)dη +
z
z0
Fz(x0,y0,ζ)dζ.
Osserviamo che questo caso, a differenza del caso in cui C è piano, non è il più generale poiché
nello spazio è possibile avere insiemi semplicemente connessi con ”buchi”. Osserviamo anche che la
dimostrazione fornita è di tipo costruttivo, ovvero viene fornita con la (3.6) l’espressione esplicita del
potenziale.
In un campo di forze conservativo di potenziale U, si dicono superfici equipotenziali le superfici
definite dalla condizione U(x,y,z) = Cost.. Se al punto di applicazione della forza si fa subire uno
spostamento elementare dP sulla superficie equipotenziale allora, in quanto U si mantiene costante,
F·dP = 0, quindi la F è ortogonale a dP. Poiché ciò vale qualunque sia lo spostamento elementare
dP sulla superficie equipotenziale, allora in un campo conservativo le linee di forza sono le
traiettorie ortogonali alle superfici equipotenziali.
Esempi di campi conservativi
i. È conservativo ogni campo uniforme. Se F è il vettore della forza (costante di intensità, verso
e direzione) allora (con una opportuna scelta degli assi) F = Fˆ k e F·dP = Fdz è un differenziale
esatto, integrando si ottiene U = Fz +U0, dove U0 è una costante additiva arbitraria.
ii. La forza ha direzione fissa e intensità dipendente esclusivamente dalla distanza del punto di
applicazione da un certo piano fisso, ortogonale alla direzione della forza. Scelto questo piano
come piano di riferimento z = 0 allora F = φ(z) ˆ k, quindi F·dP = φ(z)dz è un integrale esatto,
integrando si ottiene U(z) = z φ(τ)dτ +U0. z0
iii.La forza è, in ogni punto P, diretta verso un certo punto fisso O ed ha intensità dipendente
esclusivamente dalla distanza ρ = OP, del punto di applicazione dal centro O (forza centrale):
1
Più precisamente si assume che, vedi Teorema 9.1 a pag. 257 del Giusti, la funzione Fx(ξ,y) sia integrabile rispetto a ξ e
di classe C 1 rispetto a y, inoltre assumiamo che esistano due funzioni g0(x) e g1(x) integrabili tali che |Fx(ξ,η)| ≤ g1(ξ) e
≤ g1(ξ).
∂Fx(ξ,η)
∂ξ