Note del corso di Fisica Matematica A
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52 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche<br />
Forze conservative<br />
Tra i campi <strong>di</strong> forza sono particolarmente interessanti quelli il cui prodotto scalare F·dP <strong>del</strong>la forza<br />
F <strong>del</strong> campo, applicata in P, per un qualsiasi spostamento elementare dP = dxî + dyˆj + dz ˆ k <strong>del</strong><br />
punto <strong>di</strong> applicazione P è il <strong>di</strong>fferenziale esatto <strong>di</strong> una funzione U <strong>di</strong> P:<br />
F·dP = Fx(x,y,z)dx+Fy(x,y,z)dy +Fz(x,y,z)dz = dU. (3.3)<br />
Tali campi <strong>di</strong> forza si <strong>di</strong>cono conservativi, e la funzione U(x,y,z), che noi supporremo uniforme<br />
(=monodroma, cioé ad un sol valore), finita, continua e derivabile, almeno fino al II ◦ or<strong>di</strong>ne, in tutto<br />
il campo, si <strong>di</strong>ce potenziale <strong>del</strong> campo ed è definita a meno <strong>di</strong> una costante ad<strong>di</strong>tiva.<br />
Scrivendo la (3.3) in forma esplicita<br />
Fxdx+Fydy +Fzdz = ∂U<br />
∂x<br />
∂U ∂U<br />
dx+ dy +<br />
∂y ∂z dz<br />
e, notando che questa identità deve sussistere per qualsiasi scelta <strong>del</strong>lo spostamento elementare<br />
dx,dy,dz deve essere:<br />
Fx = ∂U<br />
∂x , Fy = ∂U<br />
∂y , Fz = ∂U<br />
∂z<br />
cioé F = ∇U. (3.4)<br />
In particolare: la derivata <strong>del</strong> potenziale secondo una <strong>di</strong>rezione qualsiasi non è altro che<br />
la componente <strong>del</strong>la forza <strong>del</strong> campo secondo quella <strong>di</strong>rezione.<br />
Dalle (3.4) si trovano le tre relazioni:<br />
∂Fy<br />
∂z<br />
∂Fz ∂Fz<br />
= ,<br />
∂y ∂x<br />
∂Fx ∂Fx<br />
= ,<br />
∂z ∂y<br />
∂Fy<br />
= , (3.5)<br />
∂x<br />
cioé l’esistenza <strong>di</strong> un potenziale implica con<strong>di</strong>zioni restrittive per le tre funzioni Fx,Fy,Fz <strong>di</strong><br />
x,y,z: in altri termini una forza posizionale F non è in generale conservativa.<br />
La con<strong>di</strong>zione (3.5) è sotto alcune con<strong>di</strong>zioni pure sufficiente per definire una forza conservativa.<br />
Più precisamente:<br />
Teorema 3.5. Con<strong>di</strong>zione necessaria affinché una forza (P,F) sia conservativa è che essa sia<br />
posizionale e che la (3.5) sia verificata. Con<strong>di</strong>zione sufficiente affinché una forza (P,F) sia<br />
conservativa è che essa sia posizionale e che la (3.5) sia verificata su un dominio C semplicemente<br />
connesso.<br />
Dimostrazione. Rimane da <strong>di</strong>mostrare la parte sufficiente: supponiamo, per semplicità, che il punto<br />
P si muova nel piano (O;x,y) e che sia Fz ≡ 0; quin<strong>di</strong> Fx = Fx(x,y), Fy = Fy(x,y) e la (3.5) si<br />
riduce alla con<strong>di</strong>zione<br />
∂Fx<br />
∂y<br />
= ∂Fy<br />
∂x<br />
vera per ogni (x,y) ∈ C nel piano. Il dominio C, essendo semplicemente connesso e piano, allora non<br />
contiene ”buchi” e, per fissare le idee, assumiamo sia <strong>del</strong> tipo C = [a1,a2]×[b1,b2]. Sia (x0,y0) ∈ C<br />
fissato e sia (x,y) ∈ C qualunque, definiamo