Note del corso di Fisica Matematica A

52 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche
Forze conservative
Tra i campi di forza sono particolarmente interessanti quelli il cui prodotto scalare F·dP della forza
F del campo, applicata in P, per un qualsiasi spostamento elementare dP = dxî + dyˆj + dz ˆ k del
punto di applicazione P è il differenziale esatto di una funzione U di P:
F·dP = Fx(x,y,z)dx+Fy(x,y,z)dy +Fz(x,y,z)dz = dU. (3.3)
Tali campi di forza si dicono conservativi, e la funzione U(x,y,z), che noi supporremo uniforme
(=monodroma, cioé ad un sol valore), finita, continua e derivabile, almeno fino al II ◦ ordine, in tutto
il campo, si dice potenziale del campo ed è definita a meno di una costante additiva.
Scrivendo la (3.3) in forma esplicita
Fxdx+Fydy +Fzdz = ∂U
∂x
∂U ∂U
dx+ dy +
∂y ∂z dz
e, notando che questa identità deve sussistere per qualsiasi scelta dello spostamento elementare
dx,dy,dz deve essere:
Fx = ∂U
∂x , Fy = ∂U
∂y , Fz = ∂U
∂z
cioé F = ∇U. (3.4)
In particolare: la derivata del potenziale secondo una direzione qualsiasi non è altro che
la componente della forza del campo secondo quella direzione.
Dalle (3.4) si trovano le tre relazioni:
∂Fy
∂z
∂Fz ∂Fz
= ,
∂y ∂x
∂Fx ∂Fx
= ,
∂z ∂y
∂Fy
= , (3.5)
∂x
cioé l’esistenza di un potenziale implica condizioni restrittive per le tre funzioni Fx,Fy,Fz di
x,y,z: in altri termini una forza posizionale F non è in generale conservativa.
La condizione (3.5) è sotto alcune condizioni pure sufficiente per definire una forza conservativa.
Più precisamente:
Teorema 3.5. Condizione necessaria affinché una forza (P,F) sia conservativa è che essa sia
posizionale e che la (3.5) sia verificata. Condizione sufficiente affinché una forza (P,F) sia
conservativa è che essa sia posizionale e che la (3.5) sia verificata su un dominio C semplicemente
connesso.
Dimostrazione. Rimane da dimostrare la parte sufficiente: supponiamo, per semplicità, che il punto
P si muova nel piano (O;x,y) e che sia Fz ≡ 0; quindi Fx = Fx(x,y), Fy = Fy(x,y) e la (3.5) si
riduce alla condizione
∂Fx
∂y
= ∂Fy
∂x
vera per ogni (x,y) ∈ C nel piano. Il dominio C, essendo semplicemente connesso e piano, allora non
contiene ”buchi” e, per fissare le idee, assumiamo sia del tipo C = [a1,a2]×[b1,b2]. Sia (x0,y0) ∈ C
fissato e sia (x,y) ∈ C qualunque, definiamo