Note del corso di Fisica Matematica A

3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica 51
segue, per continuità, che la direzione ed il verso del moto nell’istante t immediatamente
successivo a t0 coincidono con quelli di F; in altri termini si ha che
3.1.6 Forze posizionali e forze conservative
v(t) = F(t0)
m (t−t0)+o(t−t0).
Nella Meccanica, in generale, se consideriamo un punto P soggetto a forze dovute alla presenza di
altri corpi e al moto dell’osservatore rispetto ad un riferimento inerziale si osserva che la forza (P,F)
ha vettore F che dipende, oltre che dalla posizione P del punto, anche dal tempo t e dalla velocità
v = ˙ P del punto stesso:
F = F(P, ˙
P;t).
Noi,nelseguito,supporremotaledipendenzaregolare. Seilpuntofosseisolatoel’osservatoreinerziale
tale forza avrebbe vettore F = 0. Se, invece di un punto solo, consideriamo un sistema di N punti Ps,
s = 1,...,N, soggetti alla forza dovuta alla presenza di altri corpi, al moto dell’osservatore rispetto
ad un riferimento inerziale e alla mutua interazione tra i punti Ps si osserva che la forza (Ps,Fs) ha
vettore Fs che dipende dalle posizioni dei punti, dal tempo e dalle velocità dei punti:
Fs = Fs(P1,...,Pn, ˙
P1,..., ˙
PN;t) = Fs(Pr, ˙
Pr;t), r = 1,...,N.
Se, in particolare, tutti i punti Pr, r = s, sono fissi rispetto al riferimento in cui si sta considerando
il moto (tra loro) allora si avrà Fs = Fs(Ps, ˙ Ps;t). Osserviamo poi che le forze tra i punti Ps (e tra
i punti e gli eventuali vincoli) dipendono effettivamente dalle mutue posizioni Ps−Pr e dalle mutue
velocità ˙ Ps− ˙ Pr; quindi possiamo concludere che queste forze interne e le reazioni vincolari non
dipendono dall’osservatore.
Forze posizionali
Definizione 3.3. Una forza applicata nel punto P e di vettore F, si dirà posizionale se F è esprimibile
come vettore funzione di P:
F = F(P).
Ossia, indicando con Fx,Fy,Fz le componenti di F rispetto a tre assi e con x,y,z le coordinate della
posizione di P, sarà:
Fx = Fx(x,y,z), Fy = Fy(x,y,z), Fz = Fz(x,y,z).
Definizione 3.4. La regione spaziale C, in cui è definita una forza posizionale, si dice campo di
forza. Un campo di forza si dice si dice uniforme se la rispettiva forza è costante (di direzione e
di intensità).
Data una forza posizionale e quindi definito un campo di forza diremo linee di forze (o linee del
campo) le curve γ che in ogni punto P risultano tangenti al vettore F della forza applicato in P. Si
ha che per ogni punto passa una, ed una sola, linea di forza (purché la forza non sia nulla) e le linee
di forza risultano definite come le curve integrali del sistema
dx
Fx
= dy
Fy
= dz
.
Fz