Note del corso di Fisica Matematica A

2.4 Cinematica dei sistemi 45
Da ciò segue che, per ragioni di continuità, a partire da una configurazione ordinaria, i vincoli
unilateralinonimpongonoalcunalimitazionedimobilità. Se,invece,sipartedaunaconfigurazionedi
confine, cioé da una configurazione in cui si annulla almeno una delle φj, ad es. φj ′, la corrispondente
relazione (2.66) impone la condizione
δφj ′ =
n ∂φj
h=1
′
δqh ≤ 0. (2.67)
∂qh
Segue che: i vincoli unilaterali implicano delle condizioni per gli spostamenti virtuali
soltanto a partire dalle condizioni di confine. Più precisamente: purché si parta da una configurazione
ordinaria, per un sistema a vincoli unilateri tutti gli spostamenti virtuali sono invertibili.
Non così se si muove da una configurazione di confine, in particolare: a partire da una configurazione
di confine, gli spostamenti virtuali sono in generale non invertibili. Sono invertibili tutti e solo
quelli che con ogni relazione (2.65) soddisfatta per uguaglianza, soddisfano anche la corrispondente
δφj ′ = 0.
Ad esempio: un punto appoggiato al piano (fisso) z = z0 deve soddisfare alla relazione φ(x,y,z) ≤
0, dove φ(x,y,z) = z0−z. La (2.67) assume la forma δφ = −δz. Se prendiamo spostamenti virtuali
che lasciano il punto nel piano (cioé con δx e δy arbitrari e con δz = 0) allora questi sono invertibili
poiché per questi si ha δφ = 0. Se invece prendiamo spostamenti virtuali che ci spostano il punto
dal piano (cioé con δz > 0) allora questi non sono invertibili.
2.4.5 Esercizi
Esercizio 2.1: Si consideri il sistema meccanico costituito da un’asta rigida mobile nel piano
(O;x,y) e soggetta al seguente vincolo: la velocità del punto medio dell’asta deve essere parallela
all’asta stessa (pattino). Dimostrare che questo vincolo è anolonomo, cioé tale vincolo di mobilità si
traduce in una forma differenziale lineare non integrabile.