Note del corso di Fisica Matematica A

44 2 Cinematica
dP = dO ′ +âdθ×(P −O ′ ) (2.63)
dove dO ′ rappresenta lo spostamento (infinitesimo) del centro di riduzione e âdθ la rotazione (infinitesima)
attorno all’asse istantaneo passante per O ′ e, all’istante considerato t, avente verso e
direzione dati da â; completamente arbitrari nel caso di un sistema rigido libero. In tal caso la
(2.63) fornisce la rappresentazione di tutti gli spostamenti virtuali di un sistema rigido:
δP = δO ′ +ω ′ ×(P −O ′ ),
dove designamo âδθ con ω ′ .
Se il sistema rigido, invece che essere libero, ha un punto fisso, conviene prendere tale punto come
centro di riduzione O ′ ; quindi il vettore caratteristico δO ′ è sempre nullo. Il complesso di tutti gli
spostamenti virtuali si riduce quindi a
2.4.4 Sistemi a legami unilaterali
δP = ω ′ ×(P −O ′ ).
Definizione 2.27. Un sistema ad n gradi di libertà
Ps = Ps(q1,...,qn;t), s = 1,2,...,N, (2.64)
si dice soggetto a vincoli unilateri (di posizione), se le rispettive coordinate lagrangiane debbono
soddisfare ad un certo numero di relazioni (dipendenti o no dal tempo) del tipo:
φj(q1,q2,...,qn;t) ≤ 0, j = 1,2,...,r. (2.65)
Viceversa si dicono bilateri i vincoli olonomi considerati precedentemente.
Fra le configurazioni, di cui è suscettibile un sistema (2.64) soggetto a vincoli unilateri, si dicono
ordinarie quelle in cui le relazioni (2.65) sono soddisfatte tutte come vere disuguaglianze, mentre
sidiconoconfigurazionidiconfinequelleincuialmenounadelle(2.65)èsoddisfattaperuguaglianza.
Un esempio tipico è costituita da due punti P1 e P2 collegati tra loro da un filo inestendibile di
lunghezza λ: la relazione (2.65) diventa
(x2 −x1) 2 +(y2 −y1) 2 +(z2 −z1) 2 −λ 2 ≤ 0.
Quando la distanza tra i due punti è minore di λ allora saremo nel caso di configurazioni ordinarie,
quando la distanza è invece esattamente λ allora saremo nel caso di configurazioni di confine.
Estendendo ai sistemi a vincoli unilateri la definizione di spostamento virtuale avremo che, per un
sistema (2.64), sottoposto ai vincoli (2.65), ogni spostamento virtuale, a partire dalla configurazione
di coordinate lagrangiane q1,q2,...,qn, sarà dato da δPs = n ∂Pi
h=1 ∂qh δqh, s = 1,...,N; dove le
variazioni δqh delle coordinate lagrangiane dovranno soddisfare alle relazioni
φj(q1 +δq1,q2 +δq2,...,qh +δqh;t) ≤ 0, j = 1,2,...,r;
ossia, a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo, alle
n ∂φj
φj(q1,q2,...,qn;t)+δφj = φj(q1,q2,...,qn;t)+ δqh ≤ 0. (2.66)
h=1 ∂qh