Note del corso di Fisica Matematica A

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VI Sommario 2.3.4 Esercizi................................................................ 37 2.4 Cinematica dei sistemi........................................................ 37 2.4.1 Sistemi olonomi ........................................................ 37 2.4.2 Sistemi anolonomi ...................................................... 39 2.4.3 Spostamenti infinitesimi reali e virtuali .................................... 42 2.4.4 Sistemi a legami unilaterali............................................... 44 2.4.5 Esercizi................................................................ 45 3 Generalità sui sistemi e grandezze meccaniche ................................. 47 3.1 Concetti e postulati fondamentali della meccanica ................................ 47 3.1.1 Forza ................................................................. 47 3.1.2 Leggi di Newton ........................................................ 47 3.1.3 Forze fittizie ........................................................... 48 3.1.4 Reazioni vincolari....................................................... 49 3.1.5 Equilibrio di un punto materiale e legge del moto incipiente .................. 50 3.1.6 Forze posizionali e forze conservative ...................................... 51 3.1.7 Lavoro ................................................................ 54 3.1.8 Lavoro ed energia cinetica................................................ 56 3.1.9 Esercizi................................................................ 57 3.2 Geometria delle masse ........................................................ 58 3.2.1 Densità................................................................ 58 3.2.2 Baricentro di un sistema discreto di punti materiali.......................... 59 3.2.3 Baricentro di un corpo, di una superficie e di una linea materiale .............. 61 3.2.4 Momenti di inerzia ...................................................... 62 3.2.5 Ellissoide d’inerzia e assi principali ........................................ 65 3.2.6 Matrice d’inerzia ....................................................... 67 3.2.7 Ellissoide centrale di inerzia .............................................. 69 3.2.8 Esercizi................................................................ 69 4 Statica ........................................................................ 73 4.1 Statica del punto e attrito..................................................... 73 4.1.1 Attrito per un punto appoggiato su di una superficie ........................ 73 4.1.2 Punto vincolato a muoversi su di una superficie o su una curva. ............... 75 4.2 Equazioni cardinali della statica................................................ 76 4.2.1 Commento sui sistemi di forze ............................................ 76 4.2.2 Vettori applicati ........................................................ 77 4.2.3 Sistemi di vettori applicati riducibili....................................... 81 4.2.4 Sistemi equivalenti di forze ............................................... 83 4.2.5 Condizioni necessarie per l’equilibrio di un sistema meccanico................. 83 4.2.6 Postulato caratteristico dei solidi e sufficienza delle equazioni cardinali della statica ................................................................ 85 4.2.7 Esempi ................................................................ 86 4.2.8 Equilibrio di solidi appoggiati ............................................ 88 4.3 Principio dei lavori virtuali e statica generale .................................... 89 4.3.1 Principio dei lavori virtuali............................................... 89
Sommario VII 4.3.2 Condizione generale d’equilibrio. Relazione simbolica della Statica ............. 91 4.3.3 Statica dei sistemi olonomi: condizioni di equilibrio in coordinate lagrangiane ... 93 4.3.4 Complemento: metodo dei moltiplicatori di Lagrange e calcolo delle reazioni .... 95 4.3.5 Esempi ................................................................ 97 4.3.6 Calcolo delle reazioni .................................................... 97 4.4 Nozione di stabilità dell’equilibrio .............................................. 98 4.4.1 Stabilità per un punto ................................................... 98 4.4.2 Punto libero sollecitato da forze conservativo ............................... 99 4.4.3 Stabilità per un sistema meccanico ........................................ 99 4.5 Statica relativa .............................................................. 100 4.5.1 Nozione di equilibrio relativo ............................................. 100 4.5.2 Casi particolari notevoli ................................................. 101 4.5.3 Peso e attrazione terrestre ............................................... 102 5 Dinamica: equazioni differenziali del moto ..................................... 105 5.1 Dinamica del punto .......................................................... 105 5.1.1 Dinamica del punto libero................................................ 105 5.1.2 Dinamica del punto su traiettoria prestabilita............................... 106 5.1.3 Dinamica del punto soggetto a forze posizionali ............................. 107 5.1.4 Comportamento dell’attrito durante il moto ................................ 108 5.1.5 Moto di un punto su una superficie priva di attrito .......................... 108 5.1.6 Esercizi................................................................ 109 5.2 Caratteristiche dinamiche dei sistemi ........................................... 110 5.2.1 Lavoro elementare ...................................................... 110 5.2.2 Corpo rigido libero...................................................... 110 5.2.3 Lavoro elementare in coordinate lagrangiane................................ 111 5.2.4 Lavoro virtuale e identità notevoli......................................... 112 5.2.5 Energia cinetica o forza viva.............................................. 112 5.2.6 Quantità di moto e momento della quantità di moto ......................... 117 5.2.7 Quantità di moto e momento delle quantità di moto di un corpo rigido......... 119 5.2.8 Esercizi................................................................ 121 5.3 Equazioni cardinali della Dinamica e equazioni di Lagrange ........................ 122 5.3.1 Generalità ............................................................. 122 5.3.2 Teoremi della quantità di moto e del momento delle quantità di moto. Equazioni cardinali della Dinamica ................................................. 123 5.3.3 Equazioni cardinali del moto di un sistema qualsiasi ......................... 125 5.3.4 Principio di d’Alembert e relazione simbolica della Dinamica.................. 127 5.3.5 Equazioni differenziali del moto di un sistema olonomo in coordinate lagrangiane 128 5.3.6 Dimostrazione della ”sufficienza” delle equazioni cardinali della Dinamica ...... 129 5.3.7 Equazioni del Lagrange: seconda forma .................................... 130 5.3.8 Funzione Lagrangiana ................................................... 132
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