Note del corso di Fisica Matematica A

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42 2 Cinematica 2.4.3 Spostamenti infinitesimi reali e virtuali Spostamenti infinitesimi reali Durante il moto del sistema olonomo soggetto alla (2.51) si ha che la velocità del generico punto Ps vale v(Ps) = n ∂Ps h=1 ∂qh ˙qh + ∂Ps , s = 1,...,N. ∂t Pertanto il differenziale dPs, che rappresenta lo spostamento infinitesimo reale del punto Ps, vale dPs = Spostamenti infinitesimi virtuali n ∂Ps dqh + ∂qh ∂Ps dt, s = 1,...,N. ∂t h=1 Definizione 2.26. Diremo spostamenti virtuali di un sistema olonomo gli ipotetici spostamenti (infinitesimi) che sono atti a far passare il sistema da una qualsiasi sua configurazione ad un’altra (infinitamente vicina) relativa al medesimo istante. Dato un sistema olonomo, lo spostamento subito da un suo punto Ps in uno spostamento virtuale dell’intero sistema si indica con δPs e le sue componenti secondo gli assi si denotano con δxs,δys,δzs. Si trova per gli spostamenti virtuali, nel caso di un sistema olonomo riferito a coordinate lagrangiane indipendenti, l’espressione generale n ∂Ps δPs = δqh s = 1,2,...,N (2.61) h=1 ∂qh che risulta lineare omogenea nelle variazioni elementari (arbitrarie e indipendenti) δqh delle coordinate lagrangiane (anche se i vincoli dipendono dal tempo). Di fatto gli spostamenti (infinitesimi) sono una forma differenziale lineare rispetto alle n variabili q1, q2, ...,qn. Componendo, a partire dalla stessa configurazione del sistema, due o più spostamenti virtuali, si ottiene ancora uno spostamento virtuale. Se i vincoli sono indipendenti dal tempo si ha che gli spostamenti virtuali coincidono con i possibili spostamenti (infinitesimi) reali. In generale questo non è vero; infatti se denotiamo con dP lo spostamento infinitesimo reale allora dP = che differisce da δP per il termine ∂P ∂t dt. Spostamenti virtuali dei sistemi anolonomi n h=1 ∂P ∂qh dqh + ∂P ∂t dt Seilvincoloanolonomoeradefinitomediantevincolidimobilitàdeltipo(2.56)allorasaràconsiderato come spostamento virtuale ogni spostamento ipotetico che sia atto a far passare il sistema da
γ δ . δ σ π 2.4 Cinematica dei sistemi 43 Fig. 2.11. Durante il moto di un punto P su una superficie σ lo spostamento infinitesimo reale dP sará tangente alla traiettoria γ. Gli spostamenti infinitesimi virtuali δP hanno luogo sul piano tangente π alla superficie σ in P. una configurazione C ad un’altra infinitamente vicina C ′ , compatibile con lo stato dei vincoli al medesimo istante; con l’ulteriore condizione che anche l’ipotetico spostamento obbedisca a quei medesimi vincoli di mobilità che sono imposti ad ogni moto effettivo del sistema. Cioé la variazione δqh delle coordinate lagrangiane dovrà essere tale che: n ahδqh = 0. (2.62) h=1 Cioé, per un sistema anolonomo, gli spostamenti virtuali sono dati dalle (2.61) dove i termini δqh non sono più arbitrari e indipendenti, bensì devono soddisfare i vincoli di mobilità. Spostamenti invertibili Dalla(2.61)seguecheunsistemaolonomo,adogniistanteeapartiredaogniconfigurazione,ammette insieme con ogni suo spostamento virtuale δPi anche il suo opposto −δPi; cioé nei sistemi olonomi tutti gli spostamenti virtuali sono invertibili. Infatti se le δqh soddisfano le (2.61) allora anche −δqh le soddisfano. Spostamenti virtuali di un sistema rigido I vincoli di rigidità sono espressi da equazioni della forma: (xi −xj) 2 +(yi −yj) 2 +(zi −zj) 2 = cost, i,j = 1,...,N. e sono, manifestamente, olonomi e indipendenti dal tempo; quindi in un sistema rigido gli spostamenti (infinitesimi) virtuali non differiscono dagli spostamenti (infinitesimi) reali o effettivi. Questi ultimi rientrano nel tipo
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