Note del corso di Fisica Matematica A
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2.4 Cinematica dei sistemi 41<br />
Definizione 2.25. Diremo propriamente anolonomo un sistema se i vincoli <strong>di</strong> mobilità (2.56),<br />
cui esso è soggetto, sono tali che non esista nemmeno una relazione<br />
F(q1,q2,...,qn;t) = Cost. (2.57)<br />
il cui <strong>di</strong>fferenziale si possa porre sotto forma <strong>di</strong> una combinazione lineare <strong>del</strong>le (2.56).<br />
Esempio <strong>di</strong> sistema propriamente anolonomo<br />
Consideriamo una sfera rigida S costretta a rotolare senza strisciare su <strong>di</strong> un piano fisso. Si posso<br />
scegliere come coor<strong>di</strong>nate lagrangiane <strong>del</strong> nostro sistema i cinque parametri: x, y (coor<strong>di</strong>nate <strong>del</strong>la<br />
proiezione <strong>del</strong> centro C <strong>del</strong>la sfera sul piano) e θ, ψ, φ (angoli <strong>di</strong> Eulero); ovviamente z = R. Ad<br />
ogni sistema <strong>di</strong> valori <strong>di</strong> questi 5 parametri corrisponde una posizione <strong>del</strong>la sfera a contatto con il<br />
piano z = 0. Se queste 5 coor<strong>di</strong>nate sono funzioni <strong>del</strong> tempo si ottengono le equazioni <strong>di</strong> un moto<br />
<strong>del</strong>la sfera S a contatto con il piano. Ma questo moto non è, in generale, <strong>di</strong> puro rotolamento,<br />
bensì implica, istante per istante, uno strisciamento <strong>del</strong>la sfera sul piano. La con<strong>di</strong>zione <strong>di</strong> puro<br />
rotolamento implica che deve essere costantemente nulla la velocità <strong>di</strong> trascinamento <strong>del</strong> punto <strong>di</strong><br />
contatto K, il quale, in generale, varia da istante ad istante tanto sul piano fisso quanto sulla sfera.<br />
Denotando con v◦ e ω i vettori caratteristici <strong>del</strong> moto <strong>del</strong>la sfera rispetto al suo centro C, si dovrà<br />
avere, ad ogni istante, che la velocità <strong>di</strong> trascinamento <strong>di</strong> K sia nulla:<br />
Scalarmente:<br />
vτ(K) = v◦ +ω ×(K −C) = 0.<br />
dove π,χ,ρ sono le componenti <strong>di</strong> ω rispetto agli assi fissi dove<br />
da cui seguono, in particolare,<br />
˙x−Rχ = 0, ˙y +Rπ = 0 (2.58)<br />
π = ˙ θcosψ + ˙ φsinθsinψ, χ = ˙ θsinψ − ˙ φsinθcosψ (2.59)<br />
∂π<br />
∂ψ<br />
= −χ, ∂χ<br />
∂ψ<br />
= π. (2.60)<br />
Le equazioni (2.58) sono le equazioni <strong>del</strong> vincolo <strong>di</strong> puro rotolamento ed esse non si possono<br />
integrare. Infatti esse si possono scrivere come<br />
<br />
˙x−Rsinψ ˙ θ+Rsinθcosψ ˙ φ = 0<br />
˙y +Rcosψ ˙ θ+Rsinθsinψ ˙ φ = 0<br />
e la con<strong>di</strong>zione necessaria affinchè le (2.58) siano integrabili implica che siano verificate le seguenti<br />
identità:<br />
∂(Rsinθcosψ)<br />
∂θ<br />
= ∂(−Rsinψ)<br />
∂φ<br />
e<br />
∂(Rsinθsinψ)<br />
∂θ<br />
= ∂(Rcosψ)<br />
∂φ<br />
che risultano manifestamente non verificate identicamente. Inoltre, si può verificare che non<br />
esiste nessuna relazione (2.57) in termini finiti, fra le coor<strong>di</strong>nate lagrangiane x,y,θ,φ,ψ e il tempo,<br />
la quale, derivata rispetto a t, conduca ad una combinazione lineare <strong>del</strong>le (2.58).