Note del corso di Fisica Matematica A

2.4 Cinematica dei sistemi 41
Definizione 2.25. Diremo propriamente anolonomo un sistema se i vincoli di mobilità (2.56),
cui esso è soggetto, sono tali che non esista nemmeno una relazione
F(q1,q2,...,qn;t) = Cost. (2.57)
il cui differenziale si possa porre sotto forma di una combinazione lineare delle (2.56).
Esempio di sistema propriamente anolonomo
Consideriamo una sfera rigida S costretta a rotolare senza strisciare su di un piano fisso. Si posso
scegliere come coordinate lagrangiane del nostro sistema i cinque parametri: x, y (coordinate della
proiezione del centro C della sfera sul piano) e θ, ψ, φ (angoli di Eulero); ovviamente z = R. Ad
ogni sistema di valori di questi 5 parametri corrisponde una posizione della sfera a contatto con il
piano z = 0. Se queste 5 coordinate sono funzioni del tempo si ottengono le equazioni di un moto
della sfera S a contatto con il piano. Ma questo moto non è, in generale, di puro rotolamento,
bensì implica, istante per istante, uno strisciamento della sfera sul piano. La condizione di puro
rotolamento implica che deve essere costantemente nulla la velocità di trascinamento del punto di
contatto K, il quale, in generale, varia da istante ad istante tanto sul piano fisso quanto sulla sfera.
Denotando con v◦ e ω i vettori caratteristici del moto della sfera rispetto al suo centro C, si dovrà
avere, ad ogni istante, che la velocità di trascinamento di K sia nulla:
Scalarmente:
vτ(K) = v◦ +ω ×(K −C) = 0.
dove π,χ,ρ sono le componenti di ω rispetto agli assi fissi dove
da cui seguono, in particolare,
˙x−Rχ = 0, ˙y +Rπ = 0 (2.58)
π = ˙ θcosψ + ˙ φsinθsinψ, χ = ˙ θsinψ − ˙ φsinθcosψ (2.59)
∂π
∂ψ
= −χ, ∂χ
∂ψ
= π. (2.60)
Le equazioni (2.58) sono le equazioni del vincolo di puro rotolamento ed esse non si possono
integrare. Infatti esse si possono scrivere come
˙x−Rsinψ ˙ θ+Rsinθcosψ ˙ φ = 0
˙y +Rcosψ ˙ θ+Rsinθsinψ ˙ φ = 0
e la condizione necessaria affinchè le (2.58) siano integrabili implica che siano verificate le seguenti
identità:
∂(Rsinθcosψ)
∂θ
= ∂(−Rsinψ)
∂φ
e
∂(Rsinθsinψ)
∂θ
= ∂(Rcosψ)
∂φ
che risultano manifestamente non verificate identicamente. Inoltre, si può verificare che non
esiste nessuna relazione (2.57) in termini finiti, fra le coordinate lagrangiane x,y,θ,φ,ψ e il tempo,
la quale, derivata rispetto a t, conduca ad una combinazione lineare delle (2.58).