Note del corso di Fisica Matematica A

40 2 Cinematica
n
ah˙qh +b = 0,
h=1
dove le ah e b siano funzioni delle coordinate q1, q2, ..., qn ed, eventualmente di t, comunque
prefissate, anche se la (2.56) non sia deducibile per differenzazione da una relazione in termini finiti
(2.55) fra le qh ed, eventualmente, la t.
Definizione 2.24. Ogni vincolo di mobilità (2.56) non deducibile per differenzazione da una relazione
in termini finiti tra le qh ed, eventualmente, t si dice anolonomo. Si dice omogeneo o no, secondo
che la funzione b è o no identicamente nulla. Diremo poi sistema anolonomo ogni sistema soggetto
ad uno o più vincoli anolonomi.
La differenza tra i vincoli olonomi e anolonomi risiede nel fatto che questi ultimi non impongono
alcuna limitazione alle configurazioni del sistema ma implicano soltanto delle
restrizioni per gli spostamenti possibili del sistema, cioé per la sua mobilità.
Interpretazione geometrica dei vincoli olonomi e anolonomi
Come si può facilmente osservare il sistema meccanico a n gradi di libertà ha vincoli olonomi
indipendenti dal tempo se l’insieme delle sue configurazioni è individuato da una sottovarietà
regolare Vn, detto spazio delle configurazioni, Vn × R prende il nome di spazio-tempo delle
configurazioni.
Esempio di vincolo di mobilità integrabile
.
Fig. 2.10. Discocherotolasenza strisciare. Nel
puntodicontattoK lavelocitáditrascinamento
ad ogni istante é nulla.
θ
Consideriamo un disco rigido mobile nel piano (O;x,y)
che si mantenga sempre appoggiato all’asse (O;x) e che sia
vincolato a scorrere senza strisciare su quest’asse. Si
possono assumere quali parametri lagrangiani la coordinata
ascissa x del centro C del disco e l’angolo θ di rotazione.
La condizione di puro rotolamento implica vτ(K) = 0 dove
K è il punto di contatto tra il disco e l’asse; vτ(K) è la
velocità di trascinamento. Questa condizione si traduce
nella relazione
˙x+R ˙ θ = 0
che rappresenta quindi un vincolo di mobilità omogeneo.
Questoèimmediatamenteintegrabileedàlarelazione
x = −Rθ +x0
che rappresenta un vincolo olonomo. Osserviamo che se imponiamo al disco di rotolare senza
strisciare su un piano senza prefissare la traiettoria del punto di contatto allora il vincolo di
puro rotolamento si traduce in due vincoli di mobilità non integrabili, cioé anolonomi.
Vincoli propriamente anolonomi
È possibile poi caratterizzare ulteriormente i vincoli anolonomi.