Note del corso di Fisica Matematica A
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2.4 Cinematica dei sistemi 39<br />
iv.Per un sistema rigido nello spazio i gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà sono 6, cioé tanti quanti quelli <strong>di</strong> una terna<br />
<strong>di</strong> assi (solidale con la figura): tre parametri occorrono per fissarne l’origine e tre l’orientazione.<br />
Se il sistema ha un punto fisso allora il numero <strong>di</strong> gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà si riduce a 3. Se il<br />
sistema ha un asse fisso invece il numero <strong>di</strong> gra<strong>di</strong> <strong>di</strong> libertà si riduce a 1.<br />
Il moto <strong>del</strong> sistema risulterà definito quando le coor<strong>di</strong>nate lagrangiane <strong>del</strong> sistema sono assegnate<br />
in funzione <strong>del</strong> tempo. Le equazioni<br />
qh = qh(t), h = 1,2,...,n,<br />
cui si dà luogo, si <strong>di</strong>ranno le equazioni orarie <strong>del</strong> moto in coor<strong>di</strong>nate lagrangiane. Per l’atto <strong>di</strong><br />
moto <strong>del</strong> sistema, cioé per le velocità vs = v(Ps) dei suoi punti Ps, si ha, derivando le (2.51):<br />
vs = dPs<br />
dt =<br />
Coor<strong>di</strong>nate lagrangiane sovrabbondanti<br />
n ∂Ps<br />
h=1<br />
∂qh<br />
˙qh + ∂Ps<br />
∂t<br />
s = 1,2,...,N. (2.53)<br />
Se ad un sistema olonomo S <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate lagrangiane q1,q2,...,qn si impongono uno, o più, ulteriori<br />
vincoli olonomi allora questi si traducono in una o più equazioni nelle qh (ed eventualmente nel<br />
tempo):<br />
fk(q1,q2, ...,qn;t) = 0, k = 1,2,...,ℓ ′ ,ℓ ′ ≤ n, (2.54)<br />
che potremo supporre fra loro in<strong>di</strong>pendenti rispetto alle qh. Il nuovo sistema che si ottiene è ancora<br />
olonomo e il suo grado <strong>di</strong> libertà si riduce a n−ℓ ′ . In particolare per ogni possibile sistema olonomo<br />
<strong>di</strong> N punti si possono assumere come coor<strong>di</strong>nate sovrabbondanti le 3N coor<strong>di</strong>nate cartesiane xs,ys,zs<br />
dei suoi N punti, le quali, se n è il grado <strong>di</strong> libertà <strong>del</strong> sistema, risulteranno legate fra <strong>di</strong> loro da<br />
ℓ = 3N −n equazioni <strong>del</strong> tipo (2.50).<br />
2.4.2 Sistemi anolonomi<br />
Se ad un sistema olonomo <strong>di</strong> coor<strong>di</strong>nate lagrangiane in<strong>di</strong>pendenti qh, si impone un ulteriore vincolo<br />
olonomo<br />
f(q1,q2,...,qn;t) = 0; (2.55)<br />
questo implica una limitazione, non soltanto per le configurazioni <strong>del</strong> sistema, ma anche per i suoi<br />
spostamenti possibili. In particolare si ha il seguente vincolo <strong>di</strong> mobilità: n ∂f<br />
h=1 ∂qh ˙qh + ∂f<br />
= 0, ∂t<br />
ottenuto derivando le (2.55).<br />
Introduciamoilconcetto<strong>di</strong>vincolo <strong>di</strong> mobilitàespressome<strong>di</strong>anteunaforma<strong>di</strong>fferenzialelineare<br />
<strong>del</strong> tipo:<br />
o equivalentemente, essendo dqh = ˙qhdt,<br />
n<br />
ahdqh +bdt = 0, (2.56)<br />
h=1