Note del corso di Fisica Matematica A

More documents

Recommendations

Info

38 2 Cinematica fk(x1,...,xN,y1,...,yN,z1,...zN;t) = 0, k = 1,2,...,ℓ, (2.50) le quali esprimono, analiticamente, le relazioni che, istante per istante, intercedono fra le posizioni simultanee dei singoli punti Ps, s = 1,...,N, del sistema. Esse si dicono vincoli o legami. Allora, risolvendo le (2.50) rispetto ad ℓ delle 3N coordinate xs,ys,zs e assumendo come parametri lagrangiani, denotati q1,...,qn, le rimanenti n = 3N −ℓ, si ottiene un sistema della forma (2.51). Ps = Ps(q1,q2,...,qn;t), s = 1,2,...,N. (2.51) In conclusione, si consideri, in generale, un sistema costituito da un numero N qualsiasi di punti Ps, s = 1,2,...,N, i quali, anziché liberamente mobili gli uni rispetto agli altri, siano vincolati ad assumere istante per istante soltanto le posizioni rappresentabili mediante certe determinate funzioni di un numero n ≤ 3N di parametri arbitrari q1,q2,...,qn ed, eventualmente, del tempo del tipo (2.51). Scalarmente avremo quindi 3N equazioni scalari negli argomenti qh ed, eventualmente, t; che noi supporremo univalenti, finite, continue e derivabili (fino al II◦ ordine almeno) entro un determinato campo di valori per gli argomenti. Ad un dato istante t le (2.51), al variare di qh entro il rispettivo campo di valori, forniscono tutte e sole le possibili configurazioni del sistema nell’istante considerato. È manifesto che, se i vincoli dipendono dal tempo, le configurazioni possibili del sistema in un dato istante t1 non coincidono, in generale, con quelle relative ad un istante diverso t2. Se la matrice Jacobiana avente 3N colonne e n righe ∂x1 ∂qh , ∂y1 ∂qh , ∂z1 , ..., ∂qh ∂xN , ∂qh ∂yN , ∂qh ∂zN ∂qh , h = 1,...,n, (2.52) ha rango massimo n per valori generici delle qh allora si dice che la configurazione del sistema varia se, e solo se, variano le coordinate lagrangiane (assumendo t fissato) e si dice che n è il grado di libertà del sistema. Quindi il grado di libertà di un sistema olonomo è il numero di parametri essenziali da cui dipendono le sue configurazioni in un generico istante. Definizione 2.22. Un sistema soggetto a vincoli della forma (2.50) si dice olonomo. I parametri arbitrari q1,q2,...,qn si chiamano coordinate generali o lagrangiane del sistema. Definizione 2.23. Se il tempo t non compare nelle (2.51) o, equivalentemente, nelle (2.50), il sistema olonomo si dice a vincoli indipendenti dal tempo o scleronomi; altrimenti si dice a vincoli dipendenti dal tempo o reonomi. Vediamo alcuni esempi: i. Una figura rigida mobile su di un piano è un sistema olonomo con 3 gradi di libertà, in quanto occorrono e bastano 2 parametri per individuare la posizione di un suo punto M nel piano ed un ulteriore parametro per fissare la sua orientazione attorno ad M; ii. Il sistema di due aste rigide mobili nel piano collegate a cerniera è un sistema olonomo con 4 gradi di libertà, perchè la posizione della cerniera dipende da 2 parametri, ed altri 2 ne occorrono e bastano per individuare le orientazioni delle 2 aste; iii.Una sbarra nello spazio è un sistema olonomo con 5 gradi di libertà. Per fissare infatti la configurazione di un tale sistema basta conoscere la posizione di un suo punto O ′ , che dipende da tre parametri, e la direzione della sbarra, che dipende da due parametri (ad esempio l’angolo di nutazione e l’angolo di precessione).
2.4 Cinematica dei sistemi 39 iv.Per un sistema rigido nello spazio i gradi di libertà sono 6, cioé tanti quanti quelli di una terna di assi (solidale con la figura): tre parametri occorrono per fissarne l’origine e tre l’orientazione. Se il sistema ha un punto fisso allora il numero di gradi di libertà si riduce a 3. Se il sistema ha un asse fisso invece il numero di gradi di libertà si riduce a 1. Il moto del sistema risulterà definito quando le coordinate lagrangiane del sistema sono assegnate in funzione del tempo. Le equazioni qh = qh(t), h = 1,2,...,n, cui si dà luogo, si diranno le equazioni orarie del moto in coordinate lagrangiane. Per l’atto di moto del sistema, cioé per le velocità vs = v(Ps) dei suoi punti Ps, si ha, derivando le (2.51): vs = dPs dt = Coordinate lagrangiane sovrabbondanti n ∂Ps h=1 ∂qh ˙qh + ∂Ps ∂t s = 1,2,...,N. (2.53) Se ad un sistema olonomo S di coordinate lagrangiane q1,q2,...,qn si impongono uno, o più, ulteriori vincoli olonomi allora questi si traducono in una o più equazioni nelle qh (ed eventualmente nel tempo): fk(q1,q2, ...,qn;t) = 0, k = 1,2,...,ℓ ′ ,ℓ ′ ≤ n, (2.54) che potremo supporre fra loro indipendenti rispetto alle qh. Il nuovo sistema che si ottiene è ancora olonomo e il suo grado di libertà si riduce a n−ℓ ′ . In particolare per ogni possibile sistema olonomo di N punti si possono assumere come coordinate sovrabbondanti le 3N coordinate cartesiane xs,ys,zs dei suoi N punti, le quali, se n è il grado di libertà del sistema, risulteranno legate fra di loro da ℓ = 3N −n equazioni del tipo (2.50). 2.4.2 Sistemi anolonomi Se ad un sistema olonomo di coordinate lagrangiane indipendenti qh, si impone un ulteriore vincolo olonomo f(q1,q2,...,qn;t) = 0; (2.55) questo implica una limitazione, non soltanto per le configurazioni del sistema, ma anche per i suoi spostamenti possibili. In particolare si ha il seguente vincolo di mobilità: n ∂f h=1 ∂qh ˙qh + ∂f = 0, ∂t ottenuto derivando le (2.55). Introduciamoilconcettodivincolo di mobilitàespressomedianteunaformadifferenzialelineare del tipo: o equivalentemente, essendo dqh = ˙qhdt, n ahdqh +bdt = 0, (2.56) h=1
Page 1: Fisica Matematica A 1 Marzo, 2013
Page 4 and 5: VI Sommario 2.3.4 Esercizi.........
Page 6 and 7: VIII Sommario 6 Cenni di meccanica
Page 8 and 9: 2 1 Calcolo Vettoriale Definizione
Page 10 and 11: 4 1 Calcolo Vettoriale — anti-com
Page 12 and 13: 6 1 Calcolo Vettoriale P(t)−O = x
Page 14 and 15: 8 1 Calcolo Vettoriale è invertibi
Page 17 and 18: 2 Cinematica Si dice Cinematica que
Page 19 and 20: . . Fig. 2.1. La velocitá v é se
Page 21 and 22: n . . t 2.1 Cinematica del pun
Page 23 and 24: 2.1 Cinematica del punto 17 Dimostr
Page 25 and 26: 2.1 Cinematica del punto 19 e la su
Page 27 and 28: θ Fig. 2.4. Sistema biella-manove
Page 29 and 30: 2.2 Cinematica dei sistemi rigidi 2
Page 31 and 32: 2.2.3 Moti rotatori 2.2 Cinematica
Page 33 and 34: 2.2.5 Moti rigidi generali ed atti
Page 41 and 42: Il moto assoluto di P è dato dalla
Page 43: 2.4 Cinematica dei sistemi 37 Duran
Page 47 and 48: 2.4 Cinematica dei sistemi 41 Defin
Page 49 and 50: γ δ . δ σ π 2.4 Cinematica d
Page 51: 2.4 Cinematica dei sistemi 45 Da ci
Page 54 and 55: 48 3 Generalità sui sistemi e gran
Page 79 and 80: 4 Statica 4.1 Statica del punto e a
Page 81 and 82: φ . φ σ 4.1 Statica del punt
Page 83 and 84: 4.2 Equazioni cardinali della stati
Page 85 and 86: Teorema 4.8. Quando R = 0 e l’inv
Page 95 and 96:
4.3 Principio dei lavori virtuali e
Page 97 and 98:
δρ = φ1 ·δP1 +φ2 ·δP2 = φ1
Page 99 and 100:
4.3 Principio dei lavori virtuali e
Page 101 and 102:
Quindi, si conclude o equivalenteme
Page 103 and 104:
4.3.5 Esempi Punto P vincolato a mu
Page 105 and 106:
4.4 Nozione di stabilità dell’eq
Page 107 and 108:
4.5 Statica relativa 101 In virtù
Page 109:
4.5 Statica relativa 103 dovuto all
Page 112 and 113:
106 5 Dinamica: equazioni differenz
Page 114 and 115:
Page 116 and 117:
Page 118 and 119:
Page 120 and 121:
Page 122 and 123:
Page 124 and 125:
Page 126 and 127:
Page 128 and 129:
Page 130 and 131:
Page 132 and 133:
Page 134 and 135:
Page 136 and 137:
Page 138 and 139:
Page 140 and 141:
134 6 Cenni di meccanica dei contin
Page 142 and 143:
Page 144 and 145:
Page 146 and 147:
Page 148 and 149:
Page 150 and 151:
Page 152 and 153:
Page 154 and 155:
Page 156 and 157:
Page 158 and 159:
Page 160 and 161:
Page 163 and 164:
7 Esercizi tratti da prove d’esam
Page 165 and 166:
Page 167 and 168:
Page 169 and 170:
Page 171 and 172:
Page 173 and 174:
Page 175 and 176:
A Appendice A.1 Cenni sull’attraz
Page 177:
A.1.3 Attrazione di una corona sfer
show all

Note del corso di Fisica Matematica A

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?