Note del corso di Fisica Matematica A

38 2 Cinematica
fk(x1,...,xN,y1,...,yN,z1,...zN;t) = 0, k = 1,2,...,ℓ, (2.50)
le quali esprimono, analiticamente, le relazioni che, istante per istante, intercedono fra le posizioni
simultanee dei singoli punti Ps, s = 1,...,N, del sistema. Esse si dicono vincoli o legami. Allora,
risolvendo le (2.50) rispetto ad ℓ delle 3N coordinate xs,ys,zs e assumendo come parametri
lagrangiani, denotati q1,...,qn, le rimanenti n = 3N −ℓ, si ottiene un sistema della forma (2.51).
Ps = Ps(q1,q2,...,qn;t), s = 1,2,...,N. (2.51)
In conclusione, si consideri, in generale, un sistema costituito da un numero N qualsiasi di punti
Ps, s = 1,2,...,N, i quali, anziché liberamente mobili gli uni rispetto agli altri, siano vincolati ad
assumere istante per istante soltanto le posizioni rappresentabili mediante certe determinate funzioni
di un numero n ≤ 3N di parametri arbitrari q1,q2,...,qn ed, eventualmente, del tempo del tipo
(2.51). Scalarmente avremo quindi 3N equazioni scalari negli argomenti qh ed, eventualmente, t;
che noi supporremo univalenti, finite, continue e derivabili (fino al II◦ ordine almeno) entro un
determinato campo di valori per gli argomenti.
Ad un dato istante t le (2.51), al variare di qh entro il rispettivo campo di valori, forniscono tutte
e sole le possibili configurazioni del sistema nell’istante considerato.
È manifesto che, se i vincoli
dipendono dal tempo, le configurazioni possibili del sistema in un dato istante t1 non coincidono, in
generale, con quelle relative ad un istante diverso t2.
Se la matrice Jacobiana avente 3N colonne e n righe
∂x1
∂qh
, ∂y1
∂qh
, ∂z1
, ...,
∂qh
∂xN
,
∂qh
∂yN
,
∂qh
∂zN
∂qh
, h = 1,...,n, (2.52)
ha rango massimo n per valori generici delle qh allora si dice che la configurazione del sistema varia
se, e solo se, variano le coordinate lagrangiane (assumendo t fissato) e si dice che n è il grado di
libertà del sistema. Quindi il grado di libertà di un sistema olonomo è il numero di parametri
essenziali da cui dipendono le sue configurazioni in un generico istante.
Definizione 2.22. Un sistema soggetto a vincoli della forma (2.50) si dice olonomo. I parametri
arbitrari q1,q2,...,qn si chiamano coordinate generali o lagrangiane del sistema.
Definizione 2.23. Se il tempo t non compare nelle (2.51) o, equivalentemente, nelle (2.50), il sistema
olonomo si dice a vincoli indipendenti dal tempo o scleronomi; altrimenti si dice a
vincoli dipendenti dal tempo o reonomi.
Vediamo alcuni esempi:
i. Una figura rigida mobile su di un piano è un sistema olonomo con 3 gradi di libertà, in quanto
occorrono e bastano 2 parametri per individuare la posizione di un suo punto M nel piano ed un
ulteriore parametro per fissare la sua orientazione attorno ad M;
ii. Il sistema di due aste rigide mobili nel piano collegate a cerniera è un sistema olonomo con 4 gradi
di libertà, perchè la posizione della cerniera dipende da 2 parametri, ed altri 2 ne occorrono e
bastano per individuare le orientazioni delle 2 aste;
iii.Una sbarra nello spazio è un sistema olonomo con 5 gradi di libertà. Per fissare infatti la
configurazione di un tale sistema basta conoscere la posizione di un suo punto O ′ , che dipende da
tre parametri, e la direzione della sbarra, che dipende da due parametri (ad esempio l’angolo di
nutazione e l’angolo di precessione).